Giải bài 5.28, 5.29, 5.30, 5.31 trang 110 SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 1

Bài 5.28 trang 109 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, điểm O nằm trong phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng đó. Biết rằng khoảng cách từ O đến a và b lần lượt bằng 2 cm và 3 cm.

a) Hỏi bán kính của đường tròn (O; R) phải thỏa mãn điều kiện gì để (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b?

b) Biết rằng đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng a. Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (O; R) và đường thẳng b.

Phương pháp:

a) Đường thẳng cắt đường tròn nếu khoảng cách từ tâm đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính đường tròn.

b) So sánh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng a và bán kính của đường tròn.

Lời giải:

a) Đường tròn (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b khi và chỉ khi R > 3 cm.

b) Đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng a nên R = 2 cm < 3 cm.

Do đó (O; R) cắt đường thẳng b.

Bài 5.29 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Khi chuyển động, giả sử đầu mũi kim dài của một chiếc đồng hồ vạch nên một đường tròn, kí hiệu là (T₁), trong khi đầu mũi kim ngắn vạch nên một đường tròn khác, kí hiệu là (T₂).

a) Hai đường tròn (T₁) và (T₂) có vị trí tương đối như thế nào?

b) Giả sử bán kính của (T₁) và (T₂) lần lượt là R₁ và R₂. Người ta vẽ trên mặt đồng hồ một họa tiết hình tròn có tâm nằm cách điểm trục kim đồng hồ một khoảng bằng \(\frac{1}{2}{{\rm{R}}_1}\) và có bán kính bằng \(\frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}\). Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn (T₃) đối với mỗi đường tròn (T₁) và (T₂). Vẽ ba đường tròn đó nếu R₁ = 3 cm, R₂ = 2 cm.

Phương pháp:

a) Hai đường tròn (T₁) và (T₂) là hai đường tròn đồng tâm, (T₁) chứa (T₂).

b) So sánh khoảng cách giữa tâm của 2 đường tròn với tổng hiệu hai bán kính, từ đó suy ra vị trí tương đối của hai đường tròn.

Lời giải:

a) Hai đường tròn (T1) và (T2) là hai đường tròn đồng tâm, (T1) chứa (T2).

b) Gọi tâm của (T1) là O, tâm của (T3) là O'.

Khi đó R₂ − R₃ < OO′ < R₂ + R₃.

Do đó (T2) và (T3) cắt nhau.

Vậy (T1) đựng (T3); (T2) và (T3) cắt nhau.

• Với R₁ = 3 cm, R₂ = 2 cm, ta có hình vẽ sau:

Bài 5.30 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx’ tại A và tiếp tuyến yy’ tại B của (O). Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại điểm P (khác A và B) cắt xx’ tại M và cắt yy’ tại N.

a) Chứng minh rằng MN = MA + NB.

b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt NM tại Q. Chứng minh rằng Q là trung điểm của đoạn MN.

c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.

Phương pháp:

a) Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

b) Gọi K là giao điểm của AN và OQ, áp dụng tính chất đường trung bình cho hai tam giác ABN và AMN.

c) Áp dụng tính chất đường trung bình và câu a suy ra

\({\rm{OQ}} = \frac{1}{2}{\rm{MN}}\)nên O thuộc đường tròn đường kính MN, từ đó ta có AB là tiếp tuyến tại M.

Lời giải:

a) MA và MC là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MC.

NB và NC là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên NA = NC.

Ta có: MN = MC + NC = MA + NB

b) Gọi K là giao điểm của AN và OQ.

Ta có: BN // OK (vì cùng vuông góc với AB) và O là trung điểm của AB.

Suy ra OK là đường trung bình của tam giác ABN.

Do đó K là trung điểm của AN.

Lại có: AM // QK (vì cùng vuông góc với AB) và K là trung điểm của AN.

Suy ra QK là đường trung bình của tam giác AMN.

Do đó Q là trung điểm của MN.

Do đó O thuộc đường tròn đường kính MN.

Mà OQ vuông góc với AB tại O nên AB là tiếp của đường tròn đường kính MN.

Bài 5.31 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó \({\rm{B}} \in \left( {\rm{O}} \right)\) và \({\rm{C}} \in \left( {{\rm{O'}}} \right)\). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O’);

b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, từ đó suy ra ABC là tam giác vuông.

Phương pháp:

a) O’A vuông góc với MA tại A nên MA là tiếp tuyến của (O) tại A.

b) Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

Sau đó sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.

Lời giải:

a) A thuộc (O') và O'A vuông góc với MA nên MA là tiếp tuyến tại A của (O).

b) MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MB.

MA và MC là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MC.

Suy ra MB = MC = MA hay M là trung điểm của BC.

Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Sachbaitap.com