Giải SBT Toán 10 trang 31, 32 Kết nối tri thức tập 2

Bài 7.1 trang 31 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(D\left( {0;2} \right)\) và hai vector \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 3} \right),\overrightarrow u  = \left( {1;3} \right)\)

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua D và nhận \(\overrightarrow n \) là một vector pháp tuyến.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua D và nhận \(\overrightarrow u \) là một vector chỉ phương.

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua \(D\left( {0;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 3} \right)\) là vector pháp tuyến là: \(1\left( {x - 0} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Rightarrow d:x - 3y + 6 = 0\)

b) Đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;3} \right)\) là vector chỉ phương à đường thẳng có \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3; - 1} \right)\) là vector pháp tuyến

Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua \(D\left( {0;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3; - 1} \right)\) là vector pháp tuyến là: \(3\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Rightarrow \Delta :3x - y + 2 = 0\)

Bài 7.2 trang 31 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {1;2} \right);B\left( {0; - 1} \right)\) và \(C\left( { - 2;3} \right)\). Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC

Lời giải:

Phương trình của đường thẳng d là:

–2(x – 1) + 4(y – 2) = 0

⇔ –2x + 2 + 4y – 8 = 0

⇔ –2x + 4y – 6 = 0

⇔ x – 2y + 3 = 0

Vậy d: x – 2y + 3 = 0.

Bài 7.3 trang 31 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( {2;3} \right)\). Tìm một vector chỉ phương của đường thẳng AB và viết phương trình tham số của đường thẳng AB

Lời giải:

+ Vector chỉ phương của đường thẳng AB là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng AB: đi qua \(A\left( {1;2} \right)\), nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1} \right)\) là vector chỉ phương: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\end{array} \right.\)

Bài 7.4 trang 31 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :2x - y + 5 = 0\). Tìm tất cả vector pháp tuyến có độ dài \(2\sqrt 5 \) của đường thẳng \(\Delta \)

Lời giải:

+ Vecto pháp tuyến của đường thẳng tổng quát: \(\Delta :2x - y + 5 = 0\) là \(\overrightarrow n  = \left( {2t; - t} \right)\)

+ Độ dài vecto \(\overrightarrow n  = \left( {2t; - t} \right)\) là \(\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {4{t^2} + {t^2}}  = \sqrt {5{t^2}}  = \left| t \right|\sqrt 5  = 2\sqrt 5  \Rightarrow \left| t \right| = 2 \Rightarrow t =  \pm 2\)

Vậy các vecto phải tìm là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {4; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 4;2} \right)\)

Bài 7.5 trang 31 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng d có phương trình \(y =  - 2x + 3\). Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d

Lời giải:

+ Phương trình \(y =  - 2x + 3 \Rightarrow \) phương trình tổng quát \(2x + y - 3 = 0\)

+ Phương trình \(2x + y - 3 = 0\) có vetor pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow v  = \left( {1; - 2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {0;3} \right)\) à phương trình tham số của đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3 - 2t\end{array} \right.\)

Bài 7.6 trang 31 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {2;1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 2t\end{array} \right.\). Tìm điểm N thuộc đường thẳng \(\Delta \) sao cho \(MN = \sqrt 2 \)

Lời giải:

+ N thuộc đường thẳng \(\Delta \)\( \Rightarrow N\left( {2 - t;2t} \right)\)

+ \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - t;2t - 1} \right)\) có độ dài là \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( { - t} \right)}^2} + {{\left( {2t - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {5{t^2} - 4t + 1}  = \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow 5{t^2} - 4t + 1 = 2 \Rightarrow 5{t^2} - 4t - 1 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{{ - 1}}{5}\end{array} \right.\)

Vậy \(N\left( {1;2} \right)\) hoặc \(N\left( {\frac{{11}}{5};\frac{{ - 2}}{5}} \right)\)

Bài 7.7 trang 31 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh \(A\left( {0; - 1} \right);B\left( {2;3} \right)\) và \(C\left( { - 4;1} \right)\). Lập phương trình tham số của đường trung bình ứng với cạnh BC của tam giác ABC.

Lời giải:

+ Đường trung bình ứng với cạnh BC là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và AC => Đường thẳng này song song với đường thẳng BC => Vecto chỉ phương của đường thẳng này cùng phương với vecto chỉ phương của đường thẳng BC => \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {BC}  = \left( { - 6; - 2} \right)\)

+ Viết phương trình tham số biết đường thẳng đi qua trung điểm của AB là \(M\left( {1;1} \right)\)và vetor chỉ phương \(\overrightarrow v  = \left( {3;1} \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 + t\end{array} \right.\)

Bài 7.8 trang 32 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hình vuông ABCD có \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( {1;2} \right)\)

a) Lập phương trình đường thẳng BC

b) Tìm tọa độ của điểm C biết rằng hoành hộ của điểm C là số dương

Phương pháp:

+ Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{a_1}}  = \left( {a;b} \right)\) là vecto pháp tuyến là: \(a\left( {x - {x_1}} \right) + b\left( {y - {y_1}} \right) = 0\)

Lời giải:

a) Phương trình đường thẳng BC đi qua \(B\left( {1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2} \right) = 2\left( {1;1} \right)\) là vecto pháp tuyến

Phương trình tổng quát của BC: \(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Rightarrow x + y - 3 = 0\)

b) C thuộc đường thẳng BC \( \Rightarrow C\left( {t;3 - t} \right)\)

+ \(AB = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \)

+ \(\overrightarrow {BC}  = \left( {t - 1;1 - t} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - t} \right)}^2}}  = \left| {t - 1} \right|\sqrt 2 \)

+ \(AB = BC \Rightarrow \left| {t - 1} \right|\sqrt 2  = 2\sqrt 2  \Rightarrow \left| {t - 1} \right| = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t =  - 1\end{array} \right.\)

Với hoành độ của C là số dương => \(C\left( {3;0} \right)\)

Bài 7.9 trang 32 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Nhà bạn Nam định đổi tủ lạnh và dự định kê vào vị trí dưới cầu thang. Biết vị trí kê tủ lạnh có mặt cát là một hình thang vuông với hai đáy lần lượt là 150 cm và 250 cm, chiều cao là 150 cm (như hình vẽ). Bố mẹ Nam định mua một tủ lạnh 2 cánh (Slide by slide) có chiều cao là 183 cm và bề ngang 90 cm. Bằng cách sử dụng tọa độ trong mặt phẳng, em hãy giúp Nam tính xem bố mẹ Nam có thể kê vừa chiếc tủ lạnh vào vị trí cần kê không?

Phương pháp:

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\), đặt vị trí các điểm nút.

Lời giải:

Gắn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ. Khi đó để tận dụng tối đa chiều cao có thể khi kê tủ lạnh thì bố mẹ bạn Nam sẽ kê tủ sát vào trục Oy.

Do đó để kê được một chiếc tủ lạnh 2 cánh với bề ngang 90 cm thì chiều cao của tủ phải nhỏ hơn tung độ của điểm E thuộc đường thẳng BC với hoành độ điểm E bằng 90.

Ta có:

B(150;150), C(0; 250)

100(x – 0) + 150(y – 250) = 0 ⇔ 2x + 3y – 750 = 0.

Điểm E thuộc BC có hoành độ bằng 90 nên tung độ của E tính theo công thức

2.90 + 3y_E – 750 = 0 ⇔ y_E = 190

Do 183 cm < 190 cm nên bố mẹ bạn Nam có thể kê chiếc tủ lạnh có bề ngang là 90 cm và chiều cao 183 cm.

 Sachbaitap.com