Giải SBT Toán 10 trang 47, 48, 49, 50 Kết nối tri thức tập 2

Bài 7.38 trang 47 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol

A. \(16{x^2} - 5{y^2} =  - 80\)

B. \({x^2} = 4y\)

C. \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

D. \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Phương pháp:

Phương trình Hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\) có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\)và có tiêu cự là \(2c\) với \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Lời giải:

Nhìn vào dạng tổng quát của Hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Chọn C.

Bài 7.39 trang 47 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho hai điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( { - 2;3} \right)\). Phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB là:

A. \(x - 3y + 11 = 0\)

B. \(x - 3y + 1 = 0\)

C. \( - x - 3y + 7 = 0\)

D. \(3x + y + 3 = 0\)

Phương pháp:

Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{a_1}}  = \left( {a;b} \right)\) là vector pháp tuyến là: \(a\left( {x - {x_1}} \right) + b\left( {y - {y_1}} \right) = 0\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB là:

–1(x + 2) + 3(y – 3) = 0

⇔ –x + 3y – 2 – 9 = 0

⇔ x – 3y + 11 = 0.

Bài 7.40 trang 47 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho điểm \(A\left( {2;3} \right)\) và đường thẳng \(d:x + y + 3 = 0\). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là:

A. \(\frac{8}{{\sqrt {13} }}\)

B. \(4\sqrt 2 \)

C. 8

D. \(2\sqrt 2 \)

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là:

\(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {2 + 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2 \)

Chọn B.

Bài 7.41 trang 47 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho hai đường thẳng \(d:x - 2y - 5 = 0\) và \(k:x + 3y + 3 = 0\). Góc giữa hai đường thẳng d và k là:

A. \({30^ \circ }\)

B. \({135^ \circ }\)

C. \({45^ \circ }\)   

D. \({60^ \circ }\)

Phương pháp:

Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa vector chỉ phương hoặc vector pháp tuyến của 2 đường thẳng với nhau

\(\left( {a;b} \right)\) và \(\left( {c;d} \right)\) cùng là vector pháp tuyến hoặc chỉ phương của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\). Góc giữa hai đường thẳng này được tính qua công thức:  \(cos\varphi  = \frac{{\left| {ac + bd} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{c^2} + {d^2}} }}\)

Lời giải:

+ \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;3} \right)\)

+ \(cos\varphi  = \frac{{\left| {1.1 - 2.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( 3 \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi  = {45^ \circ }\)

Chọn C.

Bài 7.42 trang 48 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\). Tâm I và bán kính R của đường tròn \(\left( C \right)\) là:

A. \(I\left( {2; - 3} \right),R = 9\)

B. \(I\left( { - 2;3} \right),R = 3\)

C. \(I\left( { - 2;3} \right),R = 9\)

D. \(I\left( {2; - 3} \right),R = 3\)

Phương pháp:

Phương trình đường tròn \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính R

Lời giải:

Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right),R = 3\)

Chọn D.

Bài 7.43 trang 48 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\). Điểm nào sau đây là một tiêu điểm của \(\left( E \right)\)?

A. \(\left( {0;3} \right)\) 

B. \(\left( {4;0} \right)\) 

C. \(\left( {3;0} \right)\) 

D. \(\left( {0;4} \right)\)

Lời giải:

Elip \(\left( E \right)\) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\) có \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {16 - 7}  = 3\) có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right),{F_2}\left( {3;0} \right)\)

Chọn C.

Bài 7.44 trang 48 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 4} \right)\) có phương trình là:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y =  - 1 - 3t\end{array} \right.\)       B. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 4 - t\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y =  - 1 - 4t\end{array} \right.\)        D. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\)

Lời giải:

AB có vector chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 3} \right) =  - 3\left( {1;1} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { - 2; - 4} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\)

Chọn D.

Bài 7.45 trang 48 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho hypebol \(\left( H \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{13}} = 1\). Tiêu cực của hypebol là:

A. 7  

B. 14

C. \(2\sqrt {23} \) 

D. \(\sqrt {23} \)

Lời giải:

+ \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {36 + 13}  = 7\)

+ Tiêu cự \(2c = 2.7 = 14\)

Chọn B.

Bài 7.46 trang 48 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho hai điểm \(A\left( {0; - 2} \right)\) và \(B\left( {2;4} \right)\). Phương trình đường tròn tâm A đi qua điểm B là:

A. \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 40\) B. \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\)

C. \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 40\) D. \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 10\)

Phương pháp:

Phương trình đường tròn \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính R

Lời giải:

+ Đường tròn tâm A đi qua B \( \Rightarrow R = AB = \sqrt {{2^2} + {6^2}}  = \sqrt {40} \)

+ Phương trình đường tròn tâm A, \(R = \sqrt {40} \) là: \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 40\)

Chọn A.

Bài 7.47 trang 48 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(E\left( {2;2} \right)\) là:

A. \({x^2} = 2y\)  

B. \({x^2} = 4y\)

C. \({x^2} = y\)    

D. \(y = 2{x^2}\)

Phương pháp:

Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) có dạng \(y = a{x^2}\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm E(2; 2) vào phương trình x² = 2y , ta có:

2² = 2.2

Do đó, phương trình chính tắc của parabol (P) đi qua điểm E(2; 2) là x² = 2y.

Bài 7.48 trang 48 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\) và điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thuộc đường tròn. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M là:

A. \(y + 1 = 0\)     

B. \(y = 0\)

C. \(x + 1 = 0\)     

D. \(x - 1 = 0\)

Lời giải:

+ \(\left( C \right)\) có \(I\left( { - 1; - 1} \right),R = 2\)

+ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M có vector pháp tuyến \(\overrightarrow {IM}  = \left( {2;0} \right) = 2\left( {1;0} \right)\) là \(1\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y + 1} \right) = 0 \Rightarrow x - 1 = 0\)

Chọn D.

Bài 7.49 trang 49 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho đường thẳng \(d:4x + 3y - 2 = 0\) và đường thẳng \(k:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y = 2 - 4t\end{array} \right.\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và k là:

A. Trùng nhau     

B. Song song       

C. Cắt nhau nhưng không vuông góc 

D. Vuông góc

Phương pháp:

Xét vị trí các đường thẳng qua các cặp vector chỉ phương và vector pháp tuyến của mỗi đường thẳng

Lời giải:

+ \(d:4x + 3y - 2 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {4;3} \right)\)

+ \(k:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y = 2 - 4t\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{v_k}}  = \left( {3; - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_k}}  = \left( {4;3} \right) = \overrightarrow {{n_d}} \)

\(\Rightarrow \) Hai đường thẳng song song hoặc với nhau

Xét \(A\left( { - 1;2} \right) \in k\) , ta thấy \(A \in d\) \(\Rightarrow \) Hai đường thẳng trùng nhau

Chọn A.

Bài 7.50 trang 49 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(M\left( {8;0} \right)\) và có tiêu cự bằng 6 là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{100}} = 1\) 

B. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{28}} = 1\)

C. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{73}} = 1\)   

D. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{55}} = 1\)

Lời giải:

+ Vì \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(M\left( {8;0} \right)\) nên ta có \(\frac{{{8^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow a = 8\)

+ \(\left( E \right)\) có tiêu cự là \(2c = 6\) nên ta có \(c = 3 \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = {8^2} - {3^2} = 55\)

+ Phương trình chính tắc \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{55}} = 1\)

Chọn D.

Bài 7.51 trang 49 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho điểm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và đường thẳng \(d:x - y + 2 = 0\). Phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d là:

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\)   

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\)   

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8\)

Lời giải:

+ \(d\left( {I,d} \right) = R = \frac{{\left| {1 + 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \)

+ Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) bán kính \(R = 2\sqrt 2 \) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\)

Chọn C.

Bài 7.52 trang 49 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho đường thẳng \(d:x - y + 3 = 0\). Phương trình đường thẳng song song với d và cách d một khoảng là \(\sqrt 2 \) là

A. \(x + y + 1 = 0\) và \(x + y + 3 = 0\) 

B. \(x - y - 1 = 0\)

C. \(x - y + 3 = 0\)

D. \(x - y + 3 = 0\) và \(x - y - 1 = 0\)

Phương pháp:

Đường thẳng d và d’ song song với nhau \( \Rightarrow \overrightarrow {{v_d}}  = \overrightarrow {{v_{d'}}} \)

Lời giải:

+ d và d’ song song với nhau \( \Rightarrow d':x - y + c = 0\left( {c \ne 3} \right)\)

+ \(d\left( {d,d'} \right) = \sqrt 2  \Rightarrow \frac{{\left| {c - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {c - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2  \Rightarrow \left| {c - 3} \right| = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 1\\c = 5\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow d':x - y + 1 = 0\) hoặc \(d':x - y + 5 = 0\)

Chọn B.

Bài 7.53 trang 49 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M\left( { - 3;2} \right)\) và vector \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 5} \right)\). Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và nhận \(\overrightarrow u \) là một vector chỉ phương

Lời giải:

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(M\left( { - 3;2} \right)\), nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 5} \right)\) là vector chỉ phương: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 2t\\y = 2 - 5t\end{array} \right.\)

Bài 7.54 trang 49 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(N\left( {2; - 1} \right)\) và vector \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 1} \right)\). Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua N và nhận \(\overrightarrow n \) là một vector pháp tuyến

Phương pháp:

+ \(\overrightarrow a  = \left( {a;b} \right)\) là vector pháp tuyến của đường thẳng \( \Rightarrow \overrightarrow {{a_1}}  = \left( {b; - a} \right)\) là vector chỉ phương của đường thẳng

+ Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(A\left( {{x_0},{y_0}} \right)\), nhận \(\overrightarrow v  = \left( {b, - a} \right)\) là vector chỉ phương: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + bt\\y = {y_0} - at\end{array} \right.\)

Lời giải:

+ \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 1} \right)\) là vector pháp tuyến \( \Rightarrow \overrightarrow v  = \left( {1;3} \right)\) là vector chỉ phương

+ Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(N\left( {2; - 1} \right)\), nhận \(\overrightarrow v  = \left( {1;3} \right)\) là vector chỉ phương: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 + 3t\end{array} \right.\)

Bài 7.55 trang 49 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC với \(A\left( {1; - 1} \right),B\left( {3;5} \right),C\left( { - 2;4} \right)\)

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

b) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC

d) Tính sin của góc giữa hai đường thẳng AB và AC

Lời giải:

a) Phương trình tham số của AB đi qua A và có vector chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;6} \right) = 2\left( {1;3} \right)\)

Phương trình tham số của AB đi qua \(A\left( {1; - 1} \right)\) và có vector chỉ phương là \(\left( {1;3} \right)\) là :\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 3t\end{array} \right.\)

b) Phương trình đường cao AH đi qua A và có vector pháp tuyến là \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 1} \right)\) là: \(5\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Rightarrow 5x + y - 4 = 0\)

c) Viết phương trình đường thẳng BC:

+ \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {1; - 5} \right) \Rightarrow BC:1\left( {x - 3} \right) - 5\left( {y - 5} \right) = 0 \Rightarrow BC:x - 5y + 22 = 0\)

+ \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {1 - 5\left( { - 1} \right) + 22} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}} }} = \frac{{28}}{{\sqrt {26} }} = \frac{{14\sqrt {26} }}{{13}}\)

d) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;6} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;5} \right) \Rightarrow cos\left( {AB,AC} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 3} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {85} }}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {1 - co{s^2}\alpha }  = \frac{7}{{\sqrt {85} }}\)

Bài 7.56 trang 50 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( {3;1} \right)\)

a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB

c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB

Phương pháp:

+ Phương trình tâm A đi qua B \( \Rightarrow R = AB\)

Lời giải:

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {1^2}}  = \sqrt {17} \)

+ Phương trình đường tròn tâm A, bán kính \(R = \sqrt {17} \) là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 17\)

b) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1; - 4} \right)\)

+ Phương trình đường thẳng AB đi qua \(A\left( { - 1;0} \right)\) và có vector pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1; - 4} \right)\) là: \(1\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 0} \right) = 0 \Rightarrow x - 4y + 1 = 0\)

c) Đường tròn O tiếp xúc với AB \( \Rightarrow d\left( {O,AB} \right) = R \Rightarrow \frac{{\left| {0 - 4.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\)

+ Phương trình đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\) có \(R = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\) là: \({x^2} + {y^2} = \frac{1}{{17}}\)

Bài 7.57 trang 50 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\)

a) Tìm tọa độ I và bán kính R của \(\left( C \right)\)

b) Chứng minh rằng điểm \(M\left( {5;1} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến d của \(\left( C \right)\) tại M

Phương pháp:

+ Phương trình đường tròn \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính R

Lời giải:

a) \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0 \Rightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\)

\( \Rightarrow I\left( {2; - 3} \right),R = 5\)

b) \(\overrightarrow {IM}  = \left( {3;4} \right) \Rightarrow IM = 5 = R \Rightarrow M \in \left( C \right)\)

Phương trình tiếp tuyến d của \(\left( C \right)\) tại M có \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {IM}  = \left( {3;4} \right)\) và đi qua \(M\left( {5;1} \right)\) là: \(3\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Rightarrow 3x + 4y - 19 = 0\)

Bài 7.58 trang 50 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Các phương trình dưới đây là phương trình chính tắc của đường nào? Khi đó hãy tìm các tiêu điểm, tiêu cực, đường chuẩn (nếu là đường parabol)

a) \({y^2} = 10x\) 

b) \({x^2} - {y^2} = 1\)  

c) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Lời giải:

a) \({y^2} = 10x\) \(\Rightarrow \) Đây là đường parabol

Có \(a = 10 > 0\) \(\Rightarrow \) Đồ thị có 1 điểm cực tiểu \(x = 0 \Rightarrow y = 0\)

b) \({x^2} - {y^2} = 1 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{1^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{1^2}}} = 1\) \(\Rightarrow \) Đây là đường hypebol với \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \)

\(\Rightarrow \) Hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - \sqrt 2 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\)

c) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) \(\Rightarrow \) Đây là đường elip với \(c = \sqrt {25 - 16}  = 3\) \(\Rightarrow \) Hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right),{F_2}\left( {3;0} \right)\)

Bài 7.59 trang 50 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tọa độ các điểm M thuộc \(\left( E \right)\) biết rằng M nhìn hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) dưới một góc vuông

Phương pháp:

Phương trình Elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\) có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\)và có tiêu cự là \(2c\) với \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

Lời giải:

+ Phương trình Elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\) với \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {25 - 9}  = 4\)

\(\Rightarrow \) Hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 2;0} \right),{F_2}\left( {2;0} \right)\)

+ Do M nhìn hai tiêu điểm dưới 1 góc vuông nên M nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\) đường kính \({F_1}{F_2}\)

+ Phương trình đường tròng \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 16\) nên M là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 16\\\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { \pm \frac{{5\sqrt 7 }}{4}; \pm \frac{9}{4}} \right)\)

Bài 7.60 trang 50 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Lập phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\), biết rằng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\). Khi đó hãy tìm điểm M thuộc \(\left( P \right)\) và cách tiêu điểm của \(\left( P \right)\) một khoảng bằng 5.

Phương pháp:

Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\): \({y^2} = 2px\)

Lời giải:

+ Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\): \({y^2} = 2px\) đi qua \(A\left( {2;4} \right) \Rightarrow {4^2} = 2.a.2 \Rightarrow p = 4 \Rightarrow {y^2} = 8x\)

+ \(MF = d\left( {M,\Delta } \right) \Rightarrow {x_M} + 2 = 5 \Rightarrow {x_M} = 3 \Rightarrow {y_M}^2 = 24 \Rightarrow {y_M} =  \pm 2\sqrt 6 \)

\( \Rightarrow M\left( {3; \pm 2\sqrt 6 } \right)\)

Bài 7.61 trang 50 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Hình vẽ bên minh họa một phòng thì thầm (whispering gallery) với mặt cắt ngang là một hình bán elip với chiều cao 24 feet và chiều rộng 80 feet. Một âm thanh được phát ra từ một tiêu điểm của phòng thì thầm có thể được nghe thấy tại tiêu điểm còn lại. Hỏi hai người nói thì thầm qua lại với nhau thì sẽ cách trung tâm của phòng bao nhiêu mét? Theo đơn vị đo lường quốc tế, 1 feet = 0,3048 m.

Lời giải:

Mặt cắt của phòng thì thầm là một nửa elip có \(a = 40,b = 24\) nên \(c = \sqrt {{{40}^2} - {{24}^2}}  = 32\)

\(\Rightarrow \) Nếu 1 người nói chuyện với nhau thì trong phòng thi sẽ cách trung tâm phòng là 32 feet = 9,7536 m.

Sachbaitap.com