Giải SBT Toán 10 trang 77, 78, 79, 80 Chân trời sáng tạo tập 2

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 1 trang 77 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {4;3} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {1;7} \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là:

A. \({90^ \circ }\)   

B. \({60^ \circ }\) 

C. \({45^ \circ }\) 

D. \({30^ \circ }\)

Lời giải:

Ta có: \(cos\varphi  = \frac{{4.1 + 3.7}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} \sqrt {{1^2} + {7^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi  = {45^ \circ }\)

Chọn C.

Bài 2 trang 77 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho hai điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\) và \(N\left( { - 3;4} \right)\). Khoảng cách giữa hai điểm M và N là:

A. 4  

B. 6  

C. \(3\sqrt 6 \)      

D. \(2\sqrt {13} \)

Lời giải:

\(\overrightarrow {MN}  = ( - 3 - 1;4 - ( - 2)) = \left( { - 4;6} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {6^2}}  = 2\sqrt {13} \)

Chọn D.

Bài 3 trang 77 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Trong tam giác ABC có \(A\left( { - 1;1} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( {1; - 1} \right)\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A. ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau

B. ABC là tam giác có ba góc đều nhọn

C. ABC là tam giác cân tại B (BA = BC)

D. ABC là tam giác vuông cân tại A

Lời giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 2} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 4} \right)\)

+ \(AB = AC = 2\sqrt 2 ,BC = 4\) hay tam giác ABC cân tại A (1)

=> Loại A, C.

+ \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 2.2 + 2.( - 2) = 0 \Rightarrow AB \bot AC\) => Tam giác ABC vuông tại A (2)

=> Loại B.

Từ (1) và (2) suy ra ABC là tam giác vuong cân tại A

Chọn D.

Bài 4 trang 77 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =  - 9 - 2t\end{array} \right.\). Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tổng quát của (d):

A. \(2x + y - 1 = 0\)        

B. \(2x + 3y + 1 = 0\)     

C. \(x + 2y + 2 = 0\)       

D. \(x + 2y - 2 = 0\)

Lời giải:

Đường thẳng d có VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \) VTPT của d là: \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {2;1} \right) \Rightarrow d:2\left( {x - 5} \right) + 1\left( {y + 9} \right) = 0 \Rightarrow d:2x + y - 1 = 0\)

Chọn A.

Bài 5 trang 77 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {1;0} \right)\) và song song với đường thẳng \(d:4x + 2y + 1 = 0\) có phương trình tổng quát là:

A. \(4x + 2y + 3 = 0\)      B. \(2x + 4y + 4 = 0\)      C. \(2x + y - 2 = 0\)         D. \(x - 2y + 3 = 0\)

Lời giải:

+ \(d'//d \Rightarrow d':4x + 2y + c = 0\)

+ \(M\left( {1;0} \right) \in d' \Rightarrow 4.1 + 2.0 + c = 0 \Rightarrow c =  - 4 \Rightarrow 2x + y - 2 = 0\)

Chọn C.

Bài 6 trang 77 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Bán kính của đường tròn tâm \(I\left( {0; - 2} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 23 = 0\) là:

A. 15

B. 5  

C. \(\frac{3}{5}\) 

D. 3

Lời giải:

Đường tròn tâm I tiếp xúc với \(\Delta \) nếu \(d\left( {I,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.0 - 4\left( { - 2} \right) - 23} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = R \Rightarrow R = 3\)

Chọn D.

Bài 7 trang 77 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\). Trong các mệnh đề sau đây, phát biểu nào sai?

A. \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\)

B. \(\left( C \right)\) có bán kính \(R = 5\)   

C. \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;2} \right)\)

D. \(\left( C \right)\) không đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\)

Lời giải:

+ Phương trình đã cho có các hệ số \(a =  - 1,b =  - 2,c =  - 20\)

+ Tính \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 20} \right) = 25 > 0\), nên đường tròn có tâm \(I\left( { - 1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 5\)

Chọn A.

Bài 8 trang 78 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {3;4} \right)\) Với đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 3 = 0\):

A. \(x + y - 7 = 0\)

B. \(x + y + 7 = 0\)

C. \(x - y - 7 = 0\) 

D. \(x + y + 3 = 0\)

Lời giải:

+ \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 3 = 0 \Rightarrow I\left( {1;2} \right),R = 3\)

+ \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {IM}  = \left( {2;2} \right) = 2\left( {1;1} \right) \Rightarrow d:1\left( {x - 3} \right) + 1\left( {y - 4} \right) = 0 \Rightarrow d:x + y - 7 = 0\)

Chọn A.

Bài 9 trang 78 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là \(\left( { - 3;0} \right),\left( {3;0} \right)\) và hai tiêu điểm là \(\left( { - 1;0} \right),\left( {1;0} \right)\) là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)    B. \(\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)  C. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\)    D. \(\frac{{{x^2}}}{1} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Lời giải:

Gọi PTCT của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Hai đỉnh \(\left( { - 3;0} \right),\left( {3;0} \right) \Rightarrow a = 3\)

Tiêu điểm là \(\left( { - 1;0} \right),\left( {1;0} \right) \Rightarrow c = 1\)

 \( \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}  = 2\sqrt 2  \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\)

Chọn C.

Bài 10 trang 78 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Phương trình chính tắc của hypebol có hai đỉnh \(\left( { - 4;0} \right),\left( {4;0} \right)\) và hai tiêu điểm là \(\left( { - 5;0} \right),\left( {5;0} \right)\) là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)    

B. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)  

C. \(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

D. \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)

Lời giải:

Gọi PTCT của hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Hai đỉnh \(\left( { - 4;0} \right),\left( {4;0} \right) \Rightarrow a = 4\)

Hai tiêu điểm là \(\left( { - 5;0} \right),\left( {5;0} \right) \Rightarrow c = 5\)

\( \Rightarrow b = \sqrt {{c^2} - {a^2}}  = 3 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Chọn B.

Bài 11 trang 78 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(\left( {2;0} \right)\) là:

A. \({y^2} = 8x\)  

B. \({y^2} = 4x\)  

C. \({y^2} = 2x\)  

D. \(y = 2{x^2}\)

Lời giải:

Gọi parabol có phương trình \({y^2} = 2px\) với \(p > 0\)

Tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right) = \left( {2;0} \right) \Rightarrow \frac{p}{2} = 2 \Leftrightarrow p = 4\)

 \( \Rightarrow {y^2} = 8x\)

Chọn A.

Bài 12 trang 78 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Elip với độ dài hai trục là 20 và 12 có phương trình chính tắc là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{{40}} + \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1\)   

B. \(\frac{{{x^2}}}{{1600}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\)     

C. \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\) 

D. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

Lời giải:

Gọi PTCT của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Trục lớn \(2a = 10 \Rightarrow a = 10\)

Trục nhỏ \(2b = 12 \Rightarrow b = 6\)

 \( \Rightarrow \) PTCT của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

Chọn C.

B. TỰ LUẬN

Bài 1 trang 78 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {2;2} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( { - 1;1} \right)\)

a) Chứng minh OABC là một hình chữ nhật

b) Tìm tọa độ tâm I của hình chữ nhật OABC

Lời giải:

a) Ta có: \(A\left( {2;2} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( { - 1;1} \right)\)

+ \(\overrightarrow {OA}  = \left( {2;2} \right),\overrightarrow {CB}  = \left( {2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {CB} \) => OABC là hình bình hành

+ \(\overrightarrow {OA}  = \left( {2;2} \right),\overrightarrow {OA}  = \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC}  = 0 \Rightarrow OA \bot OC\) => OABC là hình chữ nhật

b) I là tâm của hình chữ nhật OABC

=> I là trung điểm của OB 

=> Tọa độ của I là:  \(I = \left( {\frac{{0 + 1}}{2};\frac{{0 + 3}}{2}} \right) = \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)

Bài 2 trang 78 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\)

a) \({d_1}:5x - 9y + 2019 = 0\) và \({d_2}:9x + 5y + 2020 = 0\)

b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + 9t\\y = 7 + 18t\end{array} \right.\) và \({d_2}:4x - 12y + 13 = 0\)

c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 - 5t\\y = 13 + 9t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 13 + 10t\\y = 11 - 18t\end{array} \right.\)

Lời giải:

a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( {5; - 9} \right)\) và \(\left( {9;5} \right)\)

Ta có: \(\left( {5; - 9} \right).\left( {9;5} \right) = 0 \Rightarrow \varphi  = {90^ \circ }\)

Hai đường thẳng vuông góc.

b) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( {2; - 1} \right)\) và \(\left( {1; - 3} \right)\)

Ta có: \(cos\varphi  = \frac{{\left| {2.1 - 1.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi  = {45^ \circ }\)

c) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là \(\left( { - 5;9} \right)\) và \(\left( {10; - 18} \right)\)

Mà \(\left( {10; - 18} \right) =  - 2\left( {5; - 9} \right) \Rightarrow \) hai vecto cùng phương hay hai đường thẳng này son song.

Vậy góc giữa hai đường thẳng là \(\varphi  = {0^ \circ }\)

Bài 3 trang 79 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC với tọa độ ba đỉnh là \(A\left( {1;1} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {1;3} \right)\). Tính độ dài đường cao AH

Lời giải:

+ Lập phương trình BC:

\(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1;1} \right)\) là VTPT của đt BC.

PT BC đi qua B(3;1) nhận làm \(\overrightarrow n  = \left( {1;1} \right)\) VTPT là: \(1\left( {x - 3} \right) + 1\left( {y - 1} \right) = 0 \Rightarrow x + y - 4 = 0\)

+ Độ dài đường cao AH là khoản cách từ A đến đt BC.

\(AH = d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {1 + 1 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \)

Bài 4 trang 79 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tính bán kính của đường tròn tâm \(I\left( {1;0} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:8x - 6y + 22 = 0\)

Lời giải:

Đường tròn tâm (I) tiếp xúc với d thì có bán kính bằng khoảng cách từ I đến d.

\(R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {8.1 - 6.0 + 22} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {6^2}} }} = 3\)

Bài 5 trang 79 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và \(\Delta ':ax + by + d = 0\) (biết \(\Delta //\Delta '\))

Lời giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và \(\Delta ':ax + by + d = 0\) (khi \(\Delta //\Delta '\)) là khoảng cách từ M bất kì (thuộc \(\Delta \)) đến \(\Delta '\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \Delta  \Rightarrow a{x_0} + b{y_0} + c = 0 \Rightarrow a{x_0} + b{y_0} + d = d - c\)

\( \Rightarrow d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = d(M;\Delta ') = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Bài 6 trang 79 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn trong các trường hợp sau:

a) \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 225\)

b) \({x^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 5\)

c) \({x^2} + {y^2} - 10x - 24y = 0\)

Lời giải:

a) \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 225 \Rightarrow I\left( { - 1; - 2} \right),R = \sqrt {225}  = 15\)

b) \({x^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 5 \Rightarrow I\left( {0;7} \right),R = \sqrt 5 \)

c) \({x^2} + {y^2} - 10x - 24y = 0\)

+ Phương trình đã cho có các hệ số \(a = 5,b = 12,c = 0\)

+ Tính \({a^2} + {b^2} - c = {5^2} + {12^2} - 0 = 169 > 0\), nên phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {5;12} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {169}  = 13\)

Bài 7 trang 79 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm \(I\left( {2;2} \right)\) và bán kính bằng 7

b) Có tâm \(J\left( {0; - 3} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( { - 2; - 7} \right)\)

c) Đi qua hai điểm \(A\left( {2;2} \right),B\left( {6;2} \right)\) và có tâm nằm trên đường thẳng \(x - y = 0\)

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là 8, tung độ là 6

Lời giải:

a) Có tâm \(I\left( {2;2} \right)\) và bán kính bằng 7

+ Phương trình đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 49\)

b) Có tâm \(J\left( {0; - 3} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( { - 2; - 7} \right)\)

+ Bán kính \(JM = R = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = \sqrt {20} \)

+ Phương trình đường tròn \({x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 20\)

c) Đi qua hai điểm \(A\left( {2;2} \right),B\left( {6;2} \right)\) và có tâm nằm trên đường thẳng \(x - y = 0\)

+ Gọi I là tâm đường tròn, \(I \in x - y = 0 \Rightarrow I\left( {t;t} \right)\)

+ \(IA = IB \Leftrightarrow {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} = {\left( {t - 6} \right)^2} + {\left( {t - 2} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {t - 2} \right)^2} = {\left( {t - 6} \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 4 = {t^2} - 12t + 36\\ \Leftrightarrow 12t - 4t = 36 - 4 \Leftrightarrow 8t = 32 \Rightarrow t = 4\\ \Rightarrow I(4;4);R = IA = 2\sqrt 2 \end{array}\)

+ Phương trình đường tròn \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 8\)

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là 8, tung độ là 6

+ Gọi tâm đường tròn là \(I\left( {a;b} \right)\), hai điểm A(8;0), B(0;6) là giao của đường tròn với 2 trục tọa độ.

Ta có: \(IO = IA = IB \Leftrightarrow I{O^2} = I{A^2} = I{B^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {a - 8} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 6} \right)^2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {\left( {a - 8} \right)^2}\\{b^2} = {\left( {b - 6} \right)^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8 - a\\b = 6 - b\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = 4;b = 3\end{array}\)

Khi đó \(R = IO = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường tròn \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\)

Bài 8 trang 79 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25\) tại điểm \(A\left( {4;5} \right)\)

Lời giải:

+ \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25 \Rightarrow I\left( {1;1} \right),R = 5\)

+ Phương trình tiếp tuyến d của \(\left( C \right)\) tại \(A\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {IA} \)

 \(\overrightarrow {IA}  = \left( {3;4} \right) \Rightarrow d:3\left( {x - 4} \right) + 4\left( {y - 5} \right) = 0 \Rightarrow 3x + 4y - 32 = 0\)

Bài 9 trang 79 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Gọi tên các đường conic sau:

Lời giải:

a) Elip (đườn cong khép kín, không là đường tròn)

b) Parabol

c) Hypebol (gồm hai nhánh)

Bài 10 trang 79 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ các elip sau:

a) \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)  

b) \({x^2} + 4{y^2} = 1\)

Lời giải:

a) Elip (E) \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\) có \(a = \sqrt {169}  = 13,b = \sqrt {25}  = 5 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 12\)

+ Các tiêu điểm \({F_1}\left( { - 12;0} \right),{F_2}\left( {12;0} \right)\)

+ Các đỉnh \({A_1}\left( { - 13;0} \right),{A_2}\left( {13;0} \right),{B_1}\left( {0; - 5} \right),{B_2}\left( {0;5} \right)\)

+ Độ dài trục lớn \({A_1}{A_2} = 2a = 26\), độ dài trục nhỏ \({B_1}{B_2} = 2b = 10\)

b)\({x^2} + 4{y^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{1^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{4}}} = 1\) có \(a = 1,b = \sqrt {\frac{1}{4}}  = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

+ Các tiêu điểm \({F_1}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right),{F_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\)

+ Các đỉnh \({A_1}\left( { - 1;0} \right),{A_2}\left( {1;0} \right),{B_1}\left( {0; - \frac{1}{2}} \right),{B_2}\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)

+ Độ dài trục lớn \({A_1}{A_2} = 2a = 2\), độ dài trục nhỏ \({B_1}{B_2} = 2b = 1\)

Bài 11 trang 80 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Độ dài trục lớn 26, độ dài trục nhỏ 10

b) Độ dài trục lớn 10, tiêu cự 6

Lời giải:

a) Độ dài trục lớn \(26 = 2a \Rightarrow a = 13\).

Độ dài trục nhỏ \(10 = 2b \Rightarrow b = 5\)

PTCT của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

b) Độ dài trục lớn \(10 = 2a \Rightarrow a = 5\)

 Tiêu cự \(6 = 2c \Rightarrow c = 3 \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}  = 4\)

 PTCT của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Bài 12 trang 80 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo các hypebol sau:

a) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\)   

b) \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Lời giải:

a) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1 \Rightarrow a = 5,b = 12 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 13\)       

+ Các tiêu điểm \({F_1}\left( { - 13;0} \right),{F_2}\left( {13;0} \right)\)

+ Các đỉnh \({A_1}\left( { - 5;0} \right),{A_2}\left( {5;0} \right)\)

+ Độ dài trục thực \(2a = 10\), độ dài trục ảo \(2b = 24\)

b) \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow a = 4,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 5\)

+ Các tiêu điểm \({F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\)

+ Các đỉnh \({A_1}\left( { - 4;0} \right),{A_2}\left( {4;0} \right)\)

+ Độ dài trục thực \(2a = 8\), độ dài trục ảo \(2b = 6\)

Bài 13 trang 80 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình chính tắc của hypebol thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Đỉnh \(\left( { - 6;0} \right)\) và \(\left( {6;0} \right)\); tiêu điểm \(\left( { - 10;0} \right)\) và \(\left( {10;0} \right)\)

b) Độ dài trục thực là 10, độ dài trục ảo là 20

Lời giải:

a) Gọi PTCT của hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ Đỉnh \(\left( { - 6;0} \right)\) và \(\left( {6;0} \right) \Rightarrow a = 6\)

+ Tiêu điểm \(\left( { - 10;0} \right)\) và \(\left( {10;0} \right) \Rightarrow c = 10\)

\( \Rightarrow b = \sqrt {{c^2} - {a^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\)

Phương trình hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

b) Gọi PTCT của hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Độ dài trục thực là \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)

Độ dài trục ảo là \(2b = 20 \Rightarrow b = 10\)

Phương trình hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{100}} = 1\)

Bài 14 trang 80 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) \({y^2} = 4x\)   

b) \({y^2} = 2x\)  

c) \({y^2} =  - 6x\)

Lời giải:

a) \({y^2} = 4x \Rightarrow 2p = 4 \Rightarrow p = 2\)

+ Tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right) = \left( {1;0} \right)\)

+ Phương trình đường chuẩn: \(x =  - 1\)

b) \({y^2} = 2x \Rightarrow 2p = 2 \Rightarrow p = 1\)

+ Tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right) = \left( {\frac{1}{2};0} \right)\)

+ Phương trình đường chuẩn: \(x + \frac{1}{2} = 0\)

c) \({y^2} =  - 6x \Rightarrow 2p =  - 6 \Rightarrow p =  - 3\)

+ Tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right) = \left( {\frac{{ - 3}}{2};0} \right)\)

+ Phương trình đường chuẩn: \(x - \frac{3}{2} = 0\)

Bài 15 trang 80 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn các điều kiện:

a) Tiêu điểm \(\left( {8;0} \right)\)

b) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 4

Lời giải:

a) Tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right) = \left( {8;0} \right) \Rightarrow \frac{p}{2} = 8 \Rightarrow p = 16\)

PTCT của parabol đó là \({y^2} = 32x\)

b) Gọi PTCT của parabol đó là \({y^2} = 2px\)

Tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\), phương trình đường chuẩn: \(\Delta :x + \frac{p}{2} = 0\)

Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 4

 \( \Rightarrow \frac{{\left| {\frac{p}{2} + \frac{p}{2}} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 4 \Leftrightarrow \left| p \right| = 4 \Rightarrow p = 4\) (vì p>0)

\( \Rightarrow \) PTCT của parabol đó là \({y^2} = 8x\)

Bài 16 trang 80 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Một nhà mái vòm có mặt cát hình nửa elip cao 6 m, rộng 16 m

a) Hãy chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên

b) Tính khoảng cách thẳng đứng từ một điểm cách chân vách 4 m lên trên mái vòm

Lời giải:

a) Chọn hệ trục tọa độ có gốc là điểm chính giữa của chiều rộng mái vòm (thẳng đứng).

Gọi phương trình Elip là  \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Ta có: chiều cao của mái vòm là nửa trục nhỏ \( \Rightarrow b = 6\)

Độ rộng của mái vòm là độ dài trục lớn \( \Rightarrow 2a = 16 \Leftrightarrow a = 8\)

Vậy phương trình elip: \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

b) Gọi M là điểm cách chân vách 4 m, suy ra \({x_M} = 8 - 4 = 4\)

Khoảng cách thẳng đứng từ điểm M lên đến mái vòm chính là \(\left| {{y_M}} \right|\)

M thuộc elip nên ta có: \(\frac{{16}}{{64}} + \frac{{{y_M}^2}}{{36}} = 1 \Rightarrow \frac{{{y_M}^2}}{{36}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \left| {{y_M}} \right| = \sqrt {36.\frac{3}{4}}  = 3\sqrt 3  \approx 5,2\left( m \right)\)

Vậy khoảng cách thẳng đứng từ điểm M lên đến mái vòm là 5,2 m

Bài 17 trang 80 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho biết Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo Elip (E) với Trái Đất là 1 tiêu điểm. Cho biết độ dài hai trục của \(\left( E \right)\) là 768 800 km và 767 619 km. Viết phương trình chính tắc của elip (E)

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Độ dài trục lớn \(2a = 768800 \Rightarrow a = 384400\)

Độ dài trục nhỏ \(2b = 767619 \Rightarrow b = 383810\)

Vậy phương trình elip: \(\frac{{{x^2}}}{{{{384400}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{383810}^2}}} = 1\)

Bài 18 trang 80 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Gương phản chiếu của một đèn pha có mặt cắt là một parabol (P) với tim bóng đèn đặt ở tiêu điểm F. Chiều rộng giữa hai mép gương là 50 cm, chiều sâu của gương là 40 cm. Viết phương trình chính tắc của (P)

Lời giải:

Gọi phương trình \(\left( P \right)\) có dạng \({y^2} = 2px\)

Khi đó gương là phần mặt phẳng tạo bởi đường cong AOB.

Ta có: Chiều rộng giữa hai mép gương là 50 cm, suy ra AB = 50cm.

Chiều sâu của gương là 40 cm suy ra OI = 40 cm.

Do đó AI = 50: 2= 25 và A(40; 25) thuộc vào parabol (P)

Thay điểm \(A\left( {40;25} \right)\) vào phương trình ta có \(p = \frac{{{y^2}}}{{2x}} = \frac{{{{25}^2}}}{{2.40}} \approx 7,8\)

\( \Rightarrow \left( P \right):{y^2} = 15,6x\)

Bài 19 trang 80 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Màn hình của rada tại trạm điều khiển không lưu được thiết lập hệ tọa độ \(Oxy\) với vị trí trạm có tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và rada có bán kính hoạt động là 600 km. Một máy bay khởi hành từ sân bay lúc 8 giờ. Cho biết sau t giờ máy bay có tọa đô: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 180t\\y = 1 - 180t\end{array} \right.\)

a) Tìm tọa độ máy bay lúc 9 giờ

b) Tính khoảng cách giữa máy bay và trạm điều khiển không lưu

c) Lúc mấy giờ máy bay ra khỏi tầm hoạt động của rada

Lời giải:

a) Lúc 9 giờ, tức là sau 1 giờ bay thì tọa độ máy bay là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 180.1 = 181\\y = 1 - 180.1 =  - 179\end{array} \right.\)

Tọa độ máy bay lúc 9 giờ là (181,-179)

b) Tọa độ trạm điều khiển không lưu là O(0;0), còn tọa độ máy bay lúc 9 giờ là M (181,-179)

 \( \Rightarrow \) Khoảng cách giữa máy bay và trạm điều khiển không lưu là: \(OM = \sqrt {{{181}^2} + {{179}^2}}  \approx 255\left( {km} \right)\)

c) Máy bay bắt đầu ra khỏi tầm hoạt động của rada khi khoảng cách giữa máy bay và trạm điều khiển không lưu là 600 km.

Giả sử sau t’ giờ bay thì máy bay bắt đầu ra khỏi tầm hoạt động của rada

Ta có: \({\left( {1 + 180t'} \right)^2} + {\left( {1 - 180t'} \right)^2} = {600^2}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {180t'} \right)^2} + 360t + 1 + {\left( {180t'} \right)^2} - 360t + 1 = {600^2}\\ \Leftrightarrow 2.{\left( {180t'} \right)^2} + 2 = {600^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow t' = \sqrt {\frac{{{{600}^2} - 2}}{{{{2.180}^2}}}}  \approx 2,36\) (giờ) = 2 giờ 22 phút

Sau 2 giờ 22 phút bay, tức là khoảng 10 giờ 22 phút.

Vậy máy bay bay ra khỏi tầm hoạt động của rada từ lúc 10 giờ 22 phút.

Sachbaitap.com

Tính bán kính của đường tròn tâm \(I\left( {1;0} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:8x - 6y + 22 = 0\)