Giải SGK Toán 11 Cánh Diều tập 2 trang 71, 72

Bài 1 trang 71 SGK Toán 11 - Cánh Diều tập 2

a) \((u + v + w)' = u' + v' + w'\)

b) \((u + v - w)' = u' + v' - w'\)

c) \((uv)' = u'v'\)

d) \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'}}{{v'}};\,\,\,v = v(x) \ne 0,v' = v'(x) \ne 0\)

Phương pháp:

Dựa vào đạo hàm của các phép toán để xác định.

Lời giải:

Phát biểu đúng là: a), b).

Phát biểu c) sai vì (uv)' = u'v + uv'.

Phát biểu (d) sai vì 

Bài 2 trang 71 SGK Toán 11 - Cánh Diều tập 2

Cho \(u = u(x),\,v = v(x),\,w = w(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Chứng minh rằng \((u\,.\,v\,.\,w)' = u'\,.\,v\,.\,w + u\,.\,v'\,.\,w + u\,.\,v\,.\,w'\)

Phương pháp:

Dựa vào đạo hàm hợp và các tính chất để tính

Lời giải:

Đặt g = u . v và h = g . w.

Khi đó h' = g' . w + g . w'

              = (uv)' . w + (uv) . w'

             = (u'v + uv') . w + (uv) . w'

              = u' . v . w + u . v' . w + u . v . w'.

Bài 3 trang 71 SGK Toán 11 - Cánh Diều tập 2

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a)     \(y = 4{x^3} - 3{x^2} + 2x + 10\)

b)    \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

c)     \(y =  - 2x\sqrt x \)

d)    \(y = 3\sin x + 4\cos x - \tan x\)

e)     \(y = {4^x} + 2{e^x}\)

f)      \(y = x\ln x\)

Phương pháp:

Dựa vào các quy tắc tính đạo hàm để tính

Lời giải:

a) y' = (4x³)' – (3x²)' + (2x)' + (10)'

        = 4.3.x² – 3.2.x + 2.1

        = 12x² – 6x + 2.

e) y' = (4^x)' + (2e^x)'

= 4^xln4 + 2e^x.

g) y' = (xlnx)' = (x)'.lnx + x.(lnx)'

Bài 4 trang 71 SGK Toán 11 - Cánh Diều tập 2

Cho hàm số \(f(x) = {2^{3x + 2}}\)

a) Hàm số f(x) là hàm hợp của hàm số nào?

b) Tìm đạo hàm của f(x)

Phương pháp:

Dựa vào quy tắc đạo hàm và quy tắc hàm hợp để tính

Lời giải:

a) Đặt y = f(x) = 2^{3x + 2} và u = 3x + 2, ta có y = 2^{3x + 2} = 2^u.

Vậy y = f(x) = 2^{3x + 2} là hàm hợp của 2 hàm số y = 2^u, u = 3x + 2.

b) Từ y = 2^u và u = 3x + 2, ta có: 

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có: 

Bài 5 trang 72 SGK Toán 11 - Cánh Diều tập 2

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \sin 3x + {\sin ^2}x\)

b) \(y = {\log _2}(2x + 1) + {3^{ - 2x + 1}}\)

Phương pháp:

Dựa vào quy tắc đạo hàm và quy tắc hàm hợp để tính.

Lời giải:

a)y'=(sin3x)' + (sin²x)

        = (3x)'.cos3x + 2(sinx)'.sinx

        = 3.cos3x + 2cosx.sinx

        = 3cos3x + sin2x.

b) y' = (log₂(2x + 1))' + (3^{−2x + 1})'

' 

Bài 6 trang 72 SGK Toán 11 - Cánh Diều tập 2