Giải SGK Toán 11 Cánh Diều tập 2 trang 75

Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 - Cánh Diều tập 2

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{{2x + 3}}\)

b) \(y = {\log _3}x\)

c) \(y = {2^x}\)

Phương pháp:

Dựa vào định nghĩa đạo hàm của hàm số để tính

Lời giải:

c) Xét hàm số y = 2^x, ta có: y' = (2^x)' = 2^x.ln2

Suy ra y'' = (2^x.ln2)' = ln2.2^x.ln2 = 2^x.ln²2.

Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 - Cánh Diều tập 2

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a)\(y = 3{x^2} - 4x + 5\) tại điểm \({x_0} =  - 2\)

b)\(y = {\log _3}(2x + 1)\) tại điểm \({x_0} = 3\)

c) \(y = {e^{4x + 3}}\) tại điểm \({x_0} = 1\)

d) \(y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{6}\)

e) \(y = \cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)\) tại điểm \({x_0} = 0\).

Phương pháp:

Tìm đạo hàm cấp hai của từng hàm số rồi thay giá trị vào.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = 3x² – 4x + 5, ta có:

y' = 6x – 4;

y'' = 6.

Do đó: y''(–2) = 6.

b) Xét hàm số y = log₃(2x + 1), ta có:

c) Xét hàm số y = e^{4x + 3}, ta có:

y' = (e^{4x + 3})' = (4x + 3)'. e^{4x + 3} =  4e^{4x + 3};

y'' = (4e^{4x + 3})' = 4.(4x + 3)'.e^{4x + 3} = 16e^{4x + 3}.

Do đó: y''(1) = 16e^{4.1 + 3} = 16e⁷.

Bài 3 trang 75 SGK Toán 11 - Cánh Diều tập 2

Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình \(s = \frac{1}{2}g{t^2}\), trong đó g là gia tốc rơi tự do, \(g \approx 9,8m/{s^2}\)

a) Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \({t_0} = 2(s)\)

b) Tính gia tốc tức thời của vật tại thời điểm \({t_0} = 2(s)\)

Phương pháp:

Dựa vào hàm số đạo hàm để tìm từng đại lượng sau đó thay số.

Lời giải:

Xét hàm số 

a) Vận tốc tức thời của vật: v(t) = s'(t) = gt.

Tại thời điểm t₀ = 2 (s) có: v(2) ≈ 9,8 . 2 = 19,6 (m/s).

b) Gia tốc tức thời của vật: a(t) = v'(t) = g.

Tại thời điểm t₀ = 2 (s) có: a(2) ≈ 9,8 (m/s²).

Bài 4 trang 75 SGK Toán 11 - Cánh Diều tập 2

Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s(t) = {t^3} - 3{t^2} + 8t + 1\), trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tìm vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chất diểm;

a) Tại thời điểm t = 3(s)

b) Tại thời điểm mà chất điểm di chuyển được 7 (m)

Phương pháp:

Dựa vào hàm số đạo hàm để tìm từng đại lượng sau đó thay số.

Lời giải:

Xét hàm số s(t) = t³ – 3t² + 8t + 1.

Suy ra v(t) = s'(t) = 3t² – 6t + 8;

          a(t) = v'(t) = 6t – 6.

a) Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 3 (s) là v(3) = 3.3² – 6.3 + 8 = 17 (m/s).

Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 3 (s) là a(3) = 6.3 – 6 = 12 (m/s²).

b) Tại thời điểm s(t) = 7 thì t³ – 3t² + 8t + 1 = 7

Do đó t³ – 3t² + 8t – 6 = 0.

Suy ra t = 1 (s)

Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 1 (s) là v(1) = 3.1² – 6.1 + 8 = 5 (m/s).

Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 1 (s) là a(1) = 6.1 – 6 = 0 (m/s²).

Bài 5 trang 75 SGK Toán 11 - Cánh Diều tập 2

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 7 , có phương trình chuyển động \(x = 4\sin t\), trong đó t tính bằng giây và x tính bằng centimet.

a) Tìm vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t (s)

b) Tìm vị trí, vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm \(t = \frac{{2\pi }}{3}(s)\)

Tại thời điểm đó, con lắc di chuyển theo hướng nào?

Phương pháp:

Dựa vào hàm số đạo hàm để tìm từng đại lượng sau đó thay số.

Lời giải:

a) Phương trình vận tốc tức thời của con lắc là:

v(t) = x'(t) = (4sint)' = 4cost.

Phương trình gia tốc tức thời của con lắc là:

a(t) = v'(t) = (4cost)' = 4(–sint) = –4sint.

Do vận tốc tức thời tại thời điểm (s) mang giá trị âm nên con lắc lúc này đang di chuyển theo chiều âm của trục Ox.

Sachbaitap.com