Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 trang 25, 26

Bài 6.27 trang 25 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho hai số thực dương x, y và hai số thực \(\alpha ,\beta \) tuỳ ý. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \({x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha  + \beta }}\).                                          

B. \({x^\alpha } \cdot {y^\beta } = {(xy)^{\alpha  + \beta }}\).

C. \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha  \cdot \beta }}\).                                       

D. \({(xy)^\alpha } = {x^\alpha } \cdot {y^\alpha }\).

Phương pháp:

Công thức lũy thừa với số mũ nguyên.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Không có công thức lũy thừa cho hai lũy thừa không cùng số mũ và không cùng cơ số, do đó đáp án B sai.

Bài 6.28 trang 25 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Rút gọn biểu thức \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } :{x^{\frac{5}{8}}}(x > 0)\) ta được

A. \(\sqrt[4]{x}\)                         

B. \(\sqrt x \).                   

C. \(\sqrt[3]{x}\).                        

D. \(\sqrt[5]{x}\)

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}};{x^m}:{x^n} = {x^{m - n}};{\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Với x > 0, ta có:

Bài 6.29 trang 25 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho hai số thực dương a, b với \(a \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = 3 + {\log _a}b\).

B. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = 3 + 2{\log _a}b\).

C. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = \frac{3}{2} + {\log _a}b\).                                 

D. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}{\log _a}b\).

Phương pháp:

Sử dụng công thức lôgarit

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có log_a(a³b²) = log_aa³ + log_ab² = 3 + 2log_ab.

Bài 6.30 trang 25 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho bốn số thực dương a, b, x, y với \(a,b \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \({\log _a}(xy) = {\log _a}x + {\log _a}y\).                               

B. \({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).

C. \({\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\).

D. \({\log _a}b \cdot {\log _b}x = {\log _a}x\).

Phương pháp:

Sử dụng công thức lôgarit

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo tính chất của lôgarit, ta thấy các công thức ở các đáp án A, B, D đúng.

Với đáp án C, ta có 

Bài 6.31 trang 25 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Đặt \({\log _2}5 = a,{\log _3}5 = b\). Khi đó, \({\log _6}5\) tính theo \(a\) và \(b\) bằng

A. \(\frac{{ab}}{{a + b}}\).                        

B. \(\frac{1}{{a + b}}\).                            

C. \({a^2} + {b^2}\).                     

D. \(a + b\).

Phương pháp:

Sử dụng công thức lôgarit

Lời giải:

Dựa vào đồ thị của hàm mũ và hàm lôgarit

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án:

+ Hàm số y = log_0,5­x có tập xác định là (0; + ∞) và nghịch biến trên (0; + ∞) (do 0 < 0,5 < 1).

 + Hàm số y = e^{– x} = có tập xác định là ℝ và nghịch biến trên ℝ do $0<<1$

+ Hàm số y=có tập xác định là ℝ và nghịch biến trên ℝ do $0<<1$

+ Hàm số y = ln x có tập xác định là (0; + ∞) và đồng biến trên (0; + ∞) do e > 1.

Bài 6.34 trang 25 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho đồ thị ba hàm số \(y = {\log _a}x,y = {\log _b}x\) và \(y = {\log _c}x\) như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(a > b > c\).                           

B. \(b > a > c\).                           

C. \(a > b > c\).                  

D. \(b > c > a\).

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đồ thị hàm số lôgarit

Lời giải:

Quan sát đồ thị ta thấy:

+ Hàm số y = log_ax và y = log_bx đồng biến trên (0; + ∞) nên a, b > 1.

+ Hàm số y = log_cx nghịch biến trên (0; + ∞) nên c < 1.

 + Với x > 1, ta có logax > logbx 

⇔ logxa < logxb ⇔ a < b.

Vậy c < a < b hay b > a > c.

Bài 6.35 trang 25 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Cho \(0 < a \ne 1\). Tính giá trị của biểu thức \(B = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}} \right) + {a^{2{{\log }_a}\frac{{\sqrt {105} }}{{30}}}}\).

Phương pháp:

Sử dụng công thức lũy thừa và lôgarit

Lời giải:

Bài 6.36 trang 25 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Giải các phương trình sau:

a) \({3^{1 - 2x}} = {4^x}\);                                           

b) \({\log _3}(x + 1) + {\log _3}(x + 4) = 2\)

Phương pháp:

- Tìm điều kiện của phương trình

- Sử dụng công thức lôgarit để biến đổi giải phương trình.

Lời giải:

a) 3^{1 – 2x} = 4^x

Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế của phương trình ta được

log₃3^{1 – 2x} = log₃4^x

⇔ 1 – 2x = x log₃4

⇔ (2 + log₃4)x = 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=$

b) log₃(x + 1) + log₃(x + 4) = 2

Ta có log₃(x + 1) + log₃(x + 4) = 2

⇔ log₃[(x + 1)(x + 4)] = 2

⇔ (x + 1)(x + 4) = 3²

⇔ x² + 5x + 4 = 9

⇔ x² + 5x – 5 = 0

⇔  hoặc $x=$

Loại nghiệm $x=$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=$

Bài 6.37 trang 25 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {{4^x} - {2^{x + 1}}} \)                                 

b) \(y = \ln (1 - \ln x)\).

Phương pháp:

Điều kiện để

- \(\sqrt a \) có nghĩa là \(a \ge 0\)

- \({\log _a}x\) có nghĩa là \(x > 0\)

Lời giải:

a) Biểu thức  

có nghĩa khi 4^x – 2^{x + 1} ≥ 0 ⇔ (2²)^x – 2^x . 2 ≥ 0

⇔ (2^x)² – 2^x . 2 ≥ 0 ⇔ 2^x(2^x – 2) ≥ 0 ⇔ 2^x – 2 ≥ 0 (do 2^x > 0 với mọi số thực x)

⇔ 2^x ≥ 2 ⇔ x ≥ 1.

Vậy tập xác định của hàm số $y=là\; D\; =\; [1;\; +\; \infty ).$

b) Biểu thức ln(1 – lnx) có nghĩa khi 

Vậy tập xác định của hàm số y = ln(1 – lnx) là D = (0; e).

Bài 6.38 trang 26 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là \(5\% \) một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất \(5\% \) của 1 triệu đồng, tức là 50000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là \(r\% \) một năm thì tổng số tiền \(P\) ban đầu, sau \(n\) năm số tiền đó chỉ còn giá trị là

\(A = P \cdot {\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n}\)

a) Nếu tỉ lệ lạm phát 8% một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại bao nhiêu?

b) Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn là 90 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?

c) Nếu tỉ lệ lạm phát là 5% một năm thì sau bao nhiêu năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa?

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(A = P \cdot {\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n}\)

Lời giải:

a) Nếu tỉ lệ lạm phát là 8% một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại là $A=100\cdot {(1-}^{}$ (triệu đồng).

Sử dụng công thức \(N(t) = {N_0}{e^{rt}}\)

Lời giải:

a) Do ban đầu có 500 con vi khuẩn và sau 1 giờ tăng lên 800 con nên N₀ = 500 và với t = 1 thì N₁ = 800 nên ta có: 800 = 500e^{r ∙ 1} ⇔ e^r = 1,6 ⇔ r = ln1,6.

Khi đó N(t) = 500e^ln1,6t.

Với t = 5, ta có N(5) = 500e^{ln1,6 ∙ 5} = 5242,88.

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn khoảng 5 242 con.

b) Số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi, tức là tăng lên 1 000 con.

Ta có: 1 000 = 500e^ln1,6t ⇔ e^ln1,6t = 2 ⇔ (e^ln1,6)^t = 2 ⇔ 1,6^t = 2 ⇔ t = log_1,62 ≈ 1,47.

Vậy sau khoảng 1,47 giờ thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi.

Bài 6.40 trang 26 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Vào năm 1938, nhà vật lí Frank Benford đã đưa ra một phương pháp để xác định xem một bộ số đã được chọn ngẫu nhiên hay đã được chọn theo cách thủ công. Nếu bộ số này không được chọn ngẫu nhiên thì công thức Benford sau sẽ được dùng ước tính xác suất \(P\) để chữ số d là chữ số đầu tiên của bộ số đó: \(P = \log \frac{{d + 1}}{d}\). (Theo F. Benford, The Law of Anomalous Numbers, Proc. Am. Philos. Soc. 78 (1938), \(551 - 572)\).

Chẳng hạn, xác suất để chữ số đầu tiên là 9 bằng khoảng \(4,6\% \) (thay \(d = 9\) trong công thức Benford để tính \(P\) ).

a) Viết công thức tìm chữ số \(d\) nếu cho trước xác suất \(P\).

b) Tìm chữ số có xác suất bằng \(9,7\% \) được chọn.

c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là 1.

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(P = \log \frac{{d + 1}}{d}\)

Lời giải:

a) Ta có

b) Vì chữ số có xác suất bằng 9,7% nên P = 9,7% = 0,097, khi đó

Vậy chữ số có xác suất bằng 9,7% được chọn là chữ số 4.

c) Chữ số đầu tiên là 1, tức là d = 1, khi đó ta có $P==\log 2\approx$.

Vậy xác suất để chữ số đầu tiên là 1 bằng khoảng 30,1%.

Sachbaitap.com