Giải SGK Toán 11 trang 123, 124 Kết Nối Tri Thức tập 1

A. Trắc Nghiệm

Bài 5.18 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1}  - \sqrt n \). Mệnh đề đúng là

A. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  - \infty \)                      

B. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 1\)               

C. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \)                     

D. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 0\)

Phương pháp:

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( + \infty \) khi \(n \to  + \infty \) nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \)

Lời giải:

Bài 5.19 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Cho \({u_n} = \frac{{2 + {2^2} +  \ldots  + {2^n}}}{{{2^n}}}\). Giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng

A. 1                                         B. 2                                          C. -1                                        D. 0

Phương pháp:

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn.

Lời giải:

Đáp án: D.

Bài 5.20 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Cho cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\). Tổng của cấp số nhân này bằng

A. 3                                         B. 2                                          C. 1                                          D. 6

Phương pháp:

Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

                                                           \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)

Lời giải:

Bài 5.21 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1}  - \sqrt {x + 2} \). Mệnh đề đúng là

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  - \infty \)                     

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 0\)             

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  - 1\)    

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  - \frac{1}{2}\)

Phương pháp:

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn

Lời giải:

Bài 5.22 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}}\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + {0^ - }} f\left( x \right)\) bằng

A. 0                                        

B. 1                             

C. \( + \infty \)                                     

D. -1

Phương pháp:

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn

Lời giải:

Bài 5.23 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}}\). Hàm só \(f\left( x \right)\) liên tục trên

A. \(\left( { - \infty ;\; + \infty } \right)\)                      

B. \(\left( { - \infty ;\; - 1} \right]\)                               

C. \(\left( { - \infty ;\; - 1} \right) \cup \left( { - 1;\; + \infty } \right)\)                    

D. \(\left[ { - 1;\; + \infty } \right)\)      

Phương pháp:

Hàm số liên tục trên khoảng (a,b) nếu:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\)

Lời giải:

Bài 5.24 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Cho hàm số . Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\) khi

A. \(a = 0\)                  

B. \(a = 3\)                  

C. \(a =  - 1\)               

D. \(a = 1\)

Phương pháp:

Hàm số liên tục tại \({x_0}\) nếu:

                                          \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải:

B. Tự luận

Bài 5.25 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \(\left| {{u_n} - 1} \right| < \frac{2}{n}\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

Phương pháp:

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn

Lời giải:

Bài 5.26 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\);                 

b) \({v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}\);            

c) \({w_n} = \frac{{\sin n}}{{4n}}\)

Phương pháp:

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn

Lời giải:

Bài 5.27 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số.

a) \(1,\left( {01} \right)\);                     b) \(5,\left( {132} \right)\)

Phương pháp:

Lấy chu kì làm tử.

Mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kỳ.

Lời giải:

Bài 5.28 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x + 2}  - 3}}{{x - 7}}\);                   

b) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}\)              

c) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} \frac{{2 - x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\);             

d) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}\) 

Phương pháp:

Để tính giới hạn của hàm số ta có thể:

-          Dùng định nghĩa để tìm giới hạn

-          Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức

Lời giải:

Bài 5.29 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Tính các giới hạn một bên:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{\left| {x - 3} \right|}}\);                                  

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }}\)

Phương pháp:

Dùng tính chất các giới hạn của hàm số để tính.

Lời giải:

Bài 5.30 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Chứng minh rằng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}\) không tồn tại.

Phương pháp:

Dùng định nghĩa của biến hội tụ để chứng minh

Lời giải:

Bài 5.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho

a) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x},\;x \ne 0}\\{1\;,\;x = 0}\end{array}} \right.\;\;\)gián đoạn tại \(x = 0\)

b) \(g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + x\;,\;x < 1}\\{2 - x\;,x \ge 1}\end{array}} \right.\;\;\)gián đoạn tại \(x = 1\)

Phương pháp:

Dùng định nghĩa liên tục của hàm số để giải thích

Lời giải:

Bài 5.32 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là

\(F\left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{GMr}}{{{R^3}}}\;,r < R}\\{\frac{{GM}}{{{r^2}}}\;,\;r \ge R}\end{array}} \right.\)

Trong đó M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r).

Phương pháp:

Dùng định nghĩa hàm số liên tục để xét tính liên tục của hàm số F(r)

Lời giải:

Vì M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn, do đó M, R, G đều khác 0, r là khoảng cách nên r > 0.

Bài 5.33 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng

a) \(f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\);                              

b) \(g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sin x}}\)

Phương pháp:

Hàm phân thức xác định khi mẫu khác 0.

Lời giải:

Bài 5.34 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Tìm các giá trị của a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1\;,x \le a}\\{{x^2},\;a > a}\end{array}} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Phương pháp:

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc \(\mathbb{R}\)

Lời giải:

Sachbaitap.com