Giải SGK Toán 11 trang 15 Cánh Diều tập 1

Bài 1 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Gọi M, N, P là các điểm trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right),\,\left( {OA,ON} \right),\,\left( {OA,OP} \right)\) lần lượt bằng \(\frac{\pi }{2};\,\,\frac{{7\pi }}{6};\,\, - \frac{\pi }{6}\). Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều.

Phương pháp:

Dựa vào các giá trị lượng giác để tính từng cạnh của tam giác MNP

Lời giải:

Bài 2 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: \(225^\circ ; - 225^\circ ; - 1035^\circ \);\(\frac{{5\pi }}{3};\frac{{19\pi }}{2}; - \frac{{159\pi }}{4}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{225}^ \circ }} \right) = \cos \left( {{{180}^ \circ } + {{45}^ \circ }} \right) =  - \cos \left( {{{45}^ \circ }} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin \left( {{{225}^ \circ }} \right) = \sin \left( {{{180}^ \circ } + {{45}^ \circ }} \right) =  - \sin \left( {{{45}^ \circ }} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\tan \left( {225^\circ } \right) = \frac{{\sin \left( {{{225}^ \circ }} \right)}}{{\cos \left( {{{225}^ \circ }} \right)}} = 1\\\cot \left( {225^\circ } \right) = \frac{1}{{\tan \left( {225^\circ } \right)}} = 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos \left( { - {{225}^ \circ }} \right) = \cos \left( {{{225}^ \circ }} \right) = \cos \left( {{{180}^ \circ } + {{45}^ \circ }} \right) =  - \cos \left( {{{45}^ \circ }} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin \left( { - {{225}^ \circ }} \right) =  - \sin \left( {{{225}^ \circ }} \right) =  - \sin \left( {{{180}^ \circ } + {{45}^ \circ }} \right) = \sin \left( {{{45}^ \circ }} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\tan \left( { - 225^\circ } \right) = \frac{{\sin \left( {{{225}^ \circ }} \right)}}{{\cos \left( {{{225}^ \circ }} \right)}} =  - 1\\\cot \left( { - 225^\circ } \right) = \frac{1}{{\tan \left( {225^\circ } \right)}} =  - 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos \left( { - {{1035}^ \circ }} \right) = \cos \left( {{{1035}^ \circ }} \right) = \cos \left( {{{6.360}^ \circ } - {{45}^ \circ }} \right) = \cos \left( { - {{45}^ \circ }} \right) = \cos \left( {{{45}^ \circ }} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin \left( { - {{1035}^ \circ }} \right) =  - \sin \left( {{{1035}^ \circ }} \right) =  - \sin \left( {{{6.360}^ \circ } - {{45}^ \circ }} \right) =  - \sin \left( { - {{45}^ \circ }} \right) = \sin \left( {{{45}^ \circ }} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\tan \left( { - 1035^\circ } \right) = \frac{{\sin \left( { - {{1035}^ \circ }} \right)}}{{\cos \left( { - {{1035}^ \circ }} \right)}} = 1\\\cot \left( { - 1035^\circ } \right) = \frac{1}{{\tan \left( { - 1035^\circ } \right)}} =  - 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{5\pi }}{3}} \right) = \cos \left( {\pi  + \frac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{1}{2}\\\sin \left( {\frac{{5\pi }}{3}} \right) = \sin \left( {\pi  + \frac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\tan \left( {\frac{{5\pi }}{3}} \right) = \frac{{\sin \left( {\frac{{5\pi }}{3}} \right)}}{{\cos \left( {\frac{{5\pi }}{3}} \right)}} =  - \sqrt 3 \\\cot \left( {\frac{{5\pi }}{3}} \right) = \frac{1}{{\tan \left( {\frac{{5\pi }}{3}} \right)}} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{19\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {8\pi  + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {\pi  + \frac{\pi }{2}} \right) =  - \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\\\sin \left( {\frac{{19\pi }}{2}} \right) = \sin \left( {8\pi  + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) = \sin \left( {\pi  + \frac{\pi }{2}} \right) =  - \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) =  - 1\\\tan \left( {\frac{{19\pi }}{2}} \right)\\\cot \left( {\frac{{19\pi }}{2}} \right) = \frac{{\cos \left( {\frac{{19\pi }}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{{19\pi }}{2}} \right)}} = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos \left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\frac{{159\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {40.\pi  - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin \left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right) =  - \sin \left( {\frac{{159\pi }}{4}} \right) =  - \sin \left( {40.\pi  - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\tan \left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right) = \frac{{\cos \left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right)}}{{\sin \left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right)}} = 1\\\cot \left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right) = \frac{1}{{\tan \left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right)}} = 1\end{array}\)

Bài 3 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Tính các giá trị lượng giác (nếu có) có mỗi góc sau:

a)     \(\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

b)     \(k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

c)     \(\frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in Z)\)

d)     \(\frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Phương pháp:

Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Lời giải:

c) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác kπ (k ∈ ℤ):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

   • cos(kπ) = cos(2nπ) = cos0 = 1;

   • sin(kπ) = sin(2nπ) = sin0 = 0;

   • tan(kπ) = tan(2nπ) = tan0 = 0;

   • Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

   • cos(kπ) = cos(2nπ + π) = cosπ = ‒1.

   • sin(kπ) = sin(2nπ + π) = sinπ = 0.

   • tan(kπ) = tan(2nπ + π) = tanπ = 0.

   • Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

Vậy với k ∈ ℤ thì sin(kπ) = 0; tan(kπ) = 0; cot(kπ) không xác định;

        cos(kπ) = 1 khi k là số nguyên chẵn và cos(kπ) = ‒1 khi k là số nguyên lẻ.

Bài 4 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp sau:

a)     \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \)

b)     \(\cos \alpha  =  - \frac{2}{3}\) với \( - \pi  < \alpha  < 0\)

c)     \(\tan \alpha  = 3\) với \( - \pi  < \alpha  < 0\)

d)     \(\cot \alpha  =  - 2\) với \(0 < \alpha  < \pi \)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức sau :

\({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)

\(\tan \alpha .\cot \alpha \,\,\, = \,\,\,1\) với \(\cos \alpha  \ne 0;\sin \alpha  \ne 0\)

\(1 + {\tan ^2}\alpha \,\,\, = \,\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) với \(\cos \alpha  \ne 0\)

\(1 + {\cot ^2}\alpha \,\,\, = \,\,\,\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) với \(\sin \alpha  \ne 0\)

Lời giải:

a)  Ta có \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)

mà \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) nên \({\cos ^2}\alpha  + {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^2}\,\,\, = \,1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{16}}\)

Lại có \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) nên \(\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{1}{4}\)

Khi đó \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha }} =  - \sqrt {15} ;\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} =  - \frac{1}{{\sqrt {15} }}\)

b)

Ta có \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)

mà \(\cos \alpha  =  - \frac{2}{3}\) nên \({\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^2}\,\,\, = \,1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{5}{9}\)

Lại có \( - \pi  < \alpha  < 0\) nên \(\sin \alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Khi đó \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha }} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

c)

Ta có\(\tan \alpha  = 3\) nên

\(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \,\,\, = \,1 + {3^2} = 10\,\, \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{10}}\)

Mà \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{9}{{10}}\)

Với \( - \pi  < \alpha  < 0\)thì \(\sin \alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \sqrt {\frac{9}{{10}}} \)

Với \( - \pi  < \alpha  <  - \frac{\pi }{2}\)thì \(\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {\frac{1}{{10}}} \)

và  \( - \frac{\pi }{2} \le \alpha  < 0\)thì \(\cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \sqrt {\frac{1}{{10}}} \)

d)

Ta có\(\cot \alpha  =  - 2\) nên

\(\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }} =  - \frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + co{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}\alpha \,\,\, = \,1 + {( - 2)^2} = 5\,\, \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{1}{5}\)

Mà \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{4}{5}\)

Với \(0 < \alpha  < \pi \)thì \(\sin \alpha  > 0 \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {\frac{1}{5}} \)

Với \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\)thì \(\cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \sqrt {\frac{4}{5}} \)

và  \(\frac{\pi }{2} \le \alpha  < \pi \)thì \(\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {\frac{4}{5}} \)

Bài 5 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Tính 

a)  \(A = {\sin ^2}5^\circ  + {\sin ^2}10^\circ  + {\sin ^2}15^\circ  + ... + {\sin ^2}85^\circ \) (17 số hạng) 

b)  \(B = \cos 5^\circ  + \cos 10^\circ  + \cos 15^\circ  + ... + \cos 175^\circ \) (35 số hạng)

Phương pháp:

Sử dụng công thức lượng giác sau:

\(\sin ({90^ \circ } - \alpha ) = \cos \alpha ;\,\,\cos ({180^ \circ } - \alpha ) =  - \cos \alpha \)

Lời giải:

a)

\(A = {\sin ^2}5^\circ  + {\sin ^2}10^\circ  + {\sin ^2}15^\circ  + ... + {\sin ^2}85^\circ \\\,\,\,\,\,\, = \,({\sin ^2}5^\circ  + {\sin ^2}85^\circ ) + ({\sin ^2}15^\circ  + {\sin ^2}75^\circ ) + ... + ({\sin ^2}35^\circ  + {\sin ^2}55^\circ ) + {\sin ^2}45^\circ \\\,\,\,\,\,\, = \,({\sin ^2}5^\circ  + {\cos ^2}5^\circ ) + ({\sin ^2}15^\circ  + {\cos ^2}15^\circ ) + ... + ({\sin ^2}35^\circ  + {\cos ^2}35^\circ ) + {\sin ^2}45^\circ \\\,\,\,\,\,\, = 1 + 1 + ... + 1 + \frac{1}{2} = \frac{{17}}{2}\)

b)

\(B = \cos 5^\circ  + \cos 10^\circ  + \cos 15^\circ  + ... + \cos 175^\circ \\\,\,\,\,\, = (\cos 5^\circ  + \cos 175^\circ ) + (\cos 10^\circ  + \cos 170^\circ ) + ... + (\cos 85^\circ  + \cos 95^\circ ) + \cos 90^\circ \\\,\,\,\,\, = 0 + 0 + .... + 0 + 0 = 0\)

Bài 6 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 3 giờ

a)    Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau: 1h; 3h; 5h

b)    Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị?

Phương pháp:

Công thức tính chu vi hình tròn là \(2.R.\pi \) với R là bán kính đường tròn.

Lời giải:

Giả sử vệ tinh được định tại vị trí A, chuyển động quanh Trái Đất được mô tả như hình vẽ dưới đây:

 a) Vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo tức là vệ tinh chuyển động được quãng đường bằng chu vi của quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km.

Do đó quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 2 h là:

2π . 9 000 = 18 000π (km).

Sachbaitap.com