Giải SGK Toán 11 trang 51 Kết Nối Tri Thức tập 1

Bài 2.8 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau:

a) 4, 9,14, 19,...;                                 

b) 1, -1, -3, -5,...

Phương pháp:

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng ngay trước nó cộng với một số d không đổi. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Xác định công sai d bằng công thức \(d = {u_n} - {u_{n - 1}}\).

Xác định được \({u_1}\) và d ta có thể suy ra số hạng tổng quát \({u_n}\) theo công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Lời giải:

a) Ta có: công sai của cấp số cộng đã cho là d = 9 – 4 = 5.

Số hạng đầu của cấp số cộng là u₁ = 4.

Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là u₅ = u₁ + (5 – 1)d = 4 + 4 . 5 = 24.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

u_n = u₁ + (n – 1)d = 4 + (n – 1) . 5 = 4 + 5n – 5 = 5n – 1 hay u_n = 5n – 1.

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là u₁₀₀ = 5 . 100 – 1 = 499.

b) Ta có: công sai của cấp số cộng đã cho là d = – 1 – 1 = – 2.

Số hạng đầu của cấp số cộng là u₁ = 1.

Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là u₅ = u₁ + (5 – 1)d = 1 + 4 . (– 2) = – 7.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

u_n = u₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . (– 2) = 1 – 2n + 2 = – 2n + 3 hay u_n = – 2n + 3.

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là u₁₀₀ = (– 2) . 100 + 3 = – 197.

Bài 2.9 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

a) \({u_n} = 3 + 5n;\) 

b) \({u_n} = 6n - 4\);  

c) \({u_1} = 2,\;{u_n} = {u_{n - 1}} + n\);   

d) \({u_1} = 2,\;{u_n} = {u_{n - 1}} + 3\).

Phương pháp:

Để chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiếp \({u_n} - {u_{n - 1}}\) không đổi.

Từ đó, xác định được công sai d và số hạng tổng quát.

Lời giải:

a) u_n = 3 + 5n

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 3 + 5 . 1 = 8;

u₂ = 3 + 5 . 2 = 13;

u₃ = 3 + 5 . 3 = 18;

u₄ = 3 + 5 . 4 = 23;

u₅ = 3 + 5 . 5 = 28.

+) Ta có: u_n – u_{n – 1} = (3 + 5n) – [3 + 5(n – 1)] = 5, với mọi n ≥ 2.

Do đó dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 8 và công sai d = 5.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là u_n = u₁ + (n – 1)d = 8 + (n – 1). 5.

b) u_n = 6n – 4

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 6 . 1 – 4 = 2;

u₂ = 6 . 2 – 4 = 8;

u₃ = 6 . 3 – 4 = 14;

u₄ = 6 . 4 – 4 = 20;

u₅ = 6 . 5 – 4 = 26.

+) Ta có: u_n – u_{n – 1} = (6n – 4) – [6(n – 1) – 4] = 6, với mọi n ≥ 2.

Do đó dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 6.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là u_n = u₁ + (n – 1)d = 2 + (n – 1). 6.

c) u₁ = 2, u_n = u_{n – 1} + n

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 2;

u₂ = u₁ + 2 = 2 + 2 = 4;

u₃ = u₂ + 3 = 4 + 3 = 7;

u₄ = u₃ + 4 = 7 + 4 = 11;

u₅ = u₄ + 5 = 11 + 5 = 16.

Ta có: u_n = u_{n – 1} + n ⇔ u_n – u_{n – 1} = n, do n luôn thay đổi nên hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy số (u_n) thay đổi.

Vậy dãy số (u_n) không phải là cấp số cộng.

d) u₁ = 2, u_n = u_{n – 1} + 3

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 2;

u₂ = u₁ + 3 = 2 + 3 = 5;

u₃ = u₂ + 3 = 5 + 3 = 8;

u₄ = u₃ + 3 = 8 + 3 = 11;

u₅ = u₄ + 3 = 11 + 3 = 14.

Ta có: u_n = u_{n – 1} + 3 ⇔ u_n – u_{n – 1} = 3, với mọi n ≥ 2.

Do đó dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là u_n = u₁ + (n – 1)d = 2 + (n – 1). 3.

Bài 2.10 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này.

Phương pháp:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Giải hệ phương trình để tính \({u_1}\) và d

Lời giải:

Ta biểu diễn số hạng thứ 5 và số hạng thứ 12 theo số hạng thứ nhất u₁ và công sai d.

Ta có: u₅ = u₁ + (5 – 1)d hay 18 = u₁ + 4d.

u₁₂ = u₁ + (12 – 1)d hay 32 = u₁ + 11d.

Số hạng thứ 50 của cấp số cộng là u₅₀ = u₁ + (50 – 1)d = 10 + 49 . 2 = 108.

Bài 2.11 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Một cấp số cộng cố số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2700?

Phương pháp:

Gọi n là số các số hạng đầu tiên trong cấp số cộng.

Dựa vào công thức tính tổng các số hạng trong cấp số cộng: \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_n} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\) đế tính n.

Lời giải:

Bài 2.12 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Giả sử một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.

Phương pháp:

Xác định được \({u_1}\) và công sai d.

Suy ra công thức số hạng tổng quát \({u_n}\).

Lời giải:

Ta có: \({u_1} = 680,\;d =  - 55\).

Giá của chiếc xe sau n năm là: \({u_n} = 680 - 55\left( {n - 1} \right)\).

Vậy sau 5 năm sử dụng giá của chiếc xe là: \({u_5} = 680 - 55\left( {5 - 1} \right) = 460\) (triệu đồng).

Bài 2.13 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?

Phương pháp:

Gọi n là số các số hạng đầu tiên trong cấp số cộng.

Dựa vào công thức tính tổng các số hạng trong cấp số cộng: \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\) đế tính n.

Lời giải:

Số ghế ở mỗi hàng của hội trường lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 15 và công sai d = 3. Giả sử cần thiết kế tối thiếu n hàng ghế để hội trường có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi.

Bài 2.14 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030.

Phương pháp:

Xác định được \({u_1}\) và công sai d.

Suy ra công thức số hạng tổng quát \({u_n}\).

Lời giải:

Ta có: 1,2 triệu người = 1 200 nghìn người.

Dân số mỗi năm của thành phố từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành một cấp số cộng, gồm 11 số hạng (2030 – 2020 + 1 = 11), với số hạng đầu u1 = 1 200 và công sai d = 30.

Ta có: u11 = u1 + (11 – 1)d = 1 200 + 10 . 30 = 1 500.