Giải SGK Toán 8 trang 26, 27 Cánh Diều tập 1

Bài 1 trang 26 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh Diều

Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

\(a)4{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}}y + 9{y^2}\)

\(b){x^3} + 6{{\rm{x}}^2} + 12{\rm{x}} + 8\)

\(c)8{y^3} - 12{y^2} + 6y - 1\)

\(d){\left( {2{\rm{x}} + y} \right)^2} - 4{y^2}\)

\(e)27{y^3} + 8\)

\(g)64 - 125{{\rm{x}}^3}\)

Phương pháp:

Vận dụng trực tiếp hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải:

\(a)4{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}}y + 9{y^2} = {\left( {2{\rm{x}}} \right)^2} - 2.2{\rm{x}}.3y + {\left( {3y} \right)^2} = {\left( {2{\rm{x}} + 3y} \right)^2}\)

\(b){x^3} + 6{{\rm{x}}^2} + 12{\rm{x}} + 8 = {x^3} + 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} + {2^3} = {\left( {x + 2} \right)^3}\)

\(c)8{y^3} - 12{y^2} + 6y - 1 = {\left( {2y} \right)^3} - 3.{\left( {2y} \right)^2}.1 + 3.2y{.1^2} - {1^3} = {\left( {2y - 1} \right)^3}\)

\(\begin{array}{l}d){\left( {2{\rm{x}} + y} \right)^2} - 4{y^2}\\ = {\left( {2{\rm{x}} + y} \right)^2} - {\left( {2y} \right)^2}\\ = \left( {2{\rm{x}} + y + 2y} \right)\left( {2{\rm{x}} + y - 2y} \right) = \left( {2{\rm{x}} + 3y} \right)\left( {2{\rm{x}} - y} \right)\end{array}\)

\(e)27{y^3} + 8 = {\left( {3y} \right)^3} + {2^3} = \left( {3y + 2} \right)\left( {9{y^2} - 6y + 4} \right)\)

\(g)64 - 125{{\rm{x}}^3} = {4^3} - {\left( {5{\rm{x}}} \right)^3} = \left( {4 - 5{\rm{x}}} \right)\left( {16 + 20{\rm{x}} + 25{{\rm{x}}^2}} \right)\)

Bài 2 trang 27 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh Diều

Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

\(a){x^2} - 25 - 4{\rm{x}}y + 4{y^2}\)                 

\(b){x^3} - {y^3} + {x^2}y - x{y^2}\)                   

\(c){x^4} - {y^4} + {x^3}y - x{y^3}\)

Phương pháp:

Vận dụng phương pháp hằng đẳng thức để nhóm các số hạng và đặt nhân tử chung.

Lời giải:

\(\begin{array}{l}a){x^2} - 25 - 4{\rm{x}}y + 4{y^2}\\ = \left( {{x^2} - 4{\rm{x}}y + 4{y^2}} \right) - 25\\ = {\left( {x - 2y} \right)^2} - {5^2}\\ = \left( {x - 2y + 5} \right)\left( {x - 2y - 5} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b){x^3} - {y^3} + {x^2}y - x{y^2}\\ = \left( {{x^3} - {y^3}} \right) + \left( {{x^2}y - x{y^2}} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + xy\left( {x - y} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + xy} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}} \right)\\ = \left( {x - y} \right){\left( {x + y} \right)^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c){x^4} - {y^4} + {x^3}y - x{y^3}\\ = \left( {{x^4} + {x^3}y} \right) - \left( {{y^4} + x{y^3}} \right)\\ = {x^3}\left( {x + y} \right) - {y^3}\left( {y + x} \right)\\ = \left( {{x^3} - {y^3}} \right)\left( {x + y} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\end{array}\)

Bài 3 trang 27 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh Diều

Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) \(A = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2}y - {x^2} + {y^2} + y\) biết \({x^2} - y = 6\)

b) \(B = {x^2}{y^2} + 2{\rm{x}}yz + {z^2}\) biết xy + z = 0.

Phương pháp:

Phân tích các biểu thức đã cho thành các nhân tử có chúa nhân tử của đề bài sau đó thay số.

Lời giải:

a) Ta có A = x⁴ – 2x²y – x² + y² + y

= (x⁴ – 2x²y + y²) – (x² – y)

= [(x²)² – 2x²y + y²] – (x² – y)

= (x² – y)² – (x² – y).

Giá trị của mỗi biểu thức A với x² – y = 6 là:

A = (x² – y)² – (x² – y) = 6² – 6 = 36 – 6 = 30.

b) B = x²y² + 2xyz + z² = (xy)² + 2xyz + z² = (xy + z)².

Giá trị của mỗi biểu thức tại xy + z = 0 là: B = (xy + z)² = 0² = 0.

Bài 4 trang 27 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh Diều

Chứng tỏ rằng:

\(a)M = {32^{2023}} - {32^{2021}}\) chia hết cho 31

b) \(N = {7^6} + {2.7^3} + {8^{2022}} + 1\) chia hết cho  8

Phương pháp:

Phân tích M thành tích của các số trong đó có một số chia hết cho 31.

Phân tích N thành tích của các số trong đó có một số chia hết cho 8.

Lời giải:

a) Ta có M = 32^{2 023} – 32^{2 021} = 32² . 32^{2 021} – 32^{2 021}

= (32² – 1) . 32^{2 021} = (1024 – 1) . 32^{2 021} = 1023 . 32^{2 021}

Vì 1023 ⋮ 31 nên (1023 . 32^{2 021}) ⋮ 31.

Do đó M = 32^{2 023} – 32^{2 021} chia hết cho 31;

b) Ta có N = 7⁶ + 2 . 7³ + 8²⁰²² +1 = (7³)² + 2 . 7³ +1 + 8²⁰²²

= (7³ + 1)² + 8²⁰²² = 344² + 8²⁰²².

Vì 344 ⋮ 8; 8 ⋮ 8 nên 344² ⋮ 8; 8²⁰²² ⋮ 8.

Do đó (344² + 8²⁰²²) ⋮ 8

Vậy N = 7⁶ + 2 . 7³ + 8²⁰²² +1 chia hết cho 8.

Bài 5 trang 27 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh Diều

Bác Hoa gửi tiết kiệm a đồng kì hạn 12 tháng  ở một ngân hàng với lãi suất x%/năm

a) Viết công thức tính số tiền bác Hoa có được sau 12 tháng dưới dạng tích, biết bác Hoa không rút tiền ra khỏi ngân hàng trong 12 tháng đó.

b) Sau kì hạn 12 tháng, tiền lãi của kì hạn đó được cộng vào tiền vốn, rồi bác Hoa tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo. Viết công thức tính tổng số tiền mà bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng trên dưới dạng tích, biết trong 24 tháng đó, lãi xuất ngân hàng không thay đổi và bác Hoa không rút tiền ra khỏi ngân hàng.

Phương pháp:

Tính số tiền lãi mỗi kì cộng với số tiền gửi bằng tổng số tiền nhận được.

Lời giải:

a) Số tiền lãi bác Hoa nhận được sau 12 tháng là: a . r% (đồng)

Do đó, công thức tính số tiền bác Hoa có được sau 12 tháng là:

a + a . r% = a . (1 + r%) (đồng).

b) Sau kì hạn 12 tháng, bác Hoa tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo, tức là bác Hoa gửi tiếp 12 tháng với số tiền gốc là a . (1 + r%) (đồng).

Số tiền lãi bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng là:

a . (1 + r%) . r% (đồng).

Do đó, công thức tính tổng số tiền mà bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng là:

a . (1 + r%) + a . (1 + r%) . r% = a(1 + r%)(1 + r%) = a(1 + r%)² (đồng).

Sachbaitap.com