Giải Toán 7 trang 86, 87 Cánh Diều tập 2

Bài 1 trang 86 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Chứng minh định lí: “Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn” (trang 74) thông qua việc giải bài tập sua đây:

Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Điểm E thuộc cạnh AC thỏa mãn AE = AB. Chứng minh:

a) \(\Delta ABD = \Delta AED\);                                                  b) \(\widehat B > \widehat C\).

Phương pháp:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c.

b) Chứng minh \(\widehat B > \widehat C\) dựa vào kết quả phần a và tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.

Lời giải:

Bài 2 trang 86 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho Hình 53 có AD = BC, IC = ID, các góc tại đỉnh C, D, H là góc vuông. Chứng minh:

a) IA = IB;                                                                       

b) IH là tia phân giác của góc AIB.

Phương pháp:

a) Chứng minh IA = IB, ta chứng minh tam giác IDA bằng tam giác ICB.

b) Một đường thẳng là đường vuông góc hạ từ một đỉnh của tam giác cân tại đỉnh đó thì đường thẳng đó là tia phân giác của tam giác đó.

Lời giải:

a) Xét ∆IDA vuông tại D và ∆ICB vuông tại C có:

ID = IC (theo giả thiết).

AD = BC (theo giả thiết).

Suy ra ∆IDA = ∆ICB (2 cạnh góc vuông).

Do đó IA = IB (2 cạnh tương ứng).

b) Xét  ∆IHA vuông tại H và  ∆IHB vuông tại H có:

IA = IB (chứng minh trên).

IH chung.

Suy ra ∆IHA = ∆IHB (2 cạnh góc vuông).

Bài 3 trang 86 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Các kĩ sư muốn bắc một cây cầu qua sông Lam cho người dân hai xã. Để thuận lợi cho người dân đi lại, các kĩ sư cần phải chọn vị trí của cây cầu sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến chân cầu là nhỏ nhất. Bạn Nam đề xuất cách xác định vị trí của cây cầu như sau (Hình 54):

-        Kí hiệu điểm A chỉ vị trí xã thứ nhất, điểm B chỉ vị trí xã thứ hai, đường thẳng d chỉ vị trí bờ sông Lam.

-        Kẻ AH vuông góc với d (H thuộc d), kéo dài AH về phía H và lấy C sao cho AH = HC.

-        Nối C với B, CB cắt đường thẳng d tại E.

Khi đó, E là vị trí của cây cầu.

Bạn Nam nói rằng: Lấy một điểm M trên đường thẳng d, M khác E thì

MA + MB > EA + EB

Em hãy cho biết bạn Nam nói đúng hay sai. Vì sao?

Phương pháp:

Muốn biết bạn Nam nói đúng hay không, ta chứng minh bất đẳng thức MA + MB > EA + EB là đúng hay sai.

Dựa vào:

-        Tính chất đường trung trực.

-        Trong một tam giác, tổng của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải:

Nối CM.

Xét ∆AHE vuông tại H và ∆CHE vuông tại H có:

AH = CH (giả thiết).

HE chung.

Suy ra ∆AHE = ∆CHE (2 cạnh góc vuông).

Do đó EA = EC (2 cạnh tương ứng).

Khi đó EA + EB = EC + EB = BC.

Xét ∆AHM vuông tại H và ∆CHM vuông tại H có:

AH = CH (giả thiết).

HM chung.

Suy ra ∆AHM = ∆CHM (2 cạnh góc vuông).

Do đó MA = MC (2 cạnh tương ứng).

Khi đó MA + MB = MC + MB.

Xét ∆MBC có MB + MC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Hay MC + MB > EC + EB hay MA + MB > EA + EB.

Vậy bạn Nam nói đúng.

Bài 4 trang 87 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho \(\Delta ABC = \Delta MNP\). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và CA; Q, R lần lượt là trung điểm của NP và PM. Chứng minh:

a) AD = MQ;                                                                   

b) DE = QR. 

Phương pháp:

a) Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác MNQ.

b) Chứng minh tam giác DEC bằng tam giác QRP.

Lời giải:

Mà AC = MP, BC = NP nên EC = RP, CD = QP.

a) Xét ∆ACD và ∆MPQ có:

AC = MP (chứng minh trên).

CD = PQ (chứng minh trên).

Suy ra ∆ECD = ∆RPQ (c - g - c).

Do đó DE = QR (2 cạnh tương ứng).

Sachbaitap.com