Bài 10, 11, 12, 13, 14 trang 71, 72 SGK Toán 9 tập 2 - Liên hệ giữa cung và dây

Bài 10 trang 71 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm. Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng 60o. Hỏi dây AB dài bao nhiêu xentimet?

b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12?

Phương pháp: 

a)  Sử dụng số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó. Từ đó vẽ góc ở tâm bằng \(60^0\)

Sử dụng tính chất tam giác đều để suy ra độ dài dây \(AB\)

b) Sử dụng câu a) để vẽ  6 góc ở tâm bằng nhau và bằng \(60^0\), từ đó suy ra 6 cung bằng nhau. 

Lời giải:

a) Vẽ đường tròn \((O; R)\). Vẽ góc ở tâm có số đo  \(60^0\). Góc này là góc ở tâm chắn \(\overparen{AB}\) có số đo  \(60^0\) (hình a).

Tam giác \(AOB\) cân có \(\widehat{O}=60^0\) nên AOB là tam giác đều, suy ra \(AB = R\). 

b) Chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau:

+ Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R.

+ Trên đường tròn tâm O, lấy điểm A.

+ Vẽ cung tròn tâm A, bán kính R cắt đường tròn tại B và C.

+ Vẽ cung tròn tâm B và C bán kính R cắt đường tròn tâm O tại giao điểm thứ hai là D và E.

+ Vẽ cung tròn tâm E bán kính R cắt đường tròn (O) tại giao điểm thứ hai là F.

Khi đó, ta chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên

Bài 11 trang 72 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho hai đường tròn bằng nhau \((O)\) và \((O')\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\). Kẻ các đường kính \(AOC, AO'D\). Gọi \(E\) là giao điểm thứ hai của \(AC\) với đường tròn \((O')\).

a) So sánh các cung nhỏ \(\overparen{BC}, \overparen{BD}\).

b) Chứng minh rằng \(B\) là điểm chính giữa của cung \(\overparen{EBD}\) ( tức điểm \(B\) chia cung \(\overparen{EBD}\) thành hai cung bằng nhau: \(\overparen{BE}\) =  \(\overparen{BD}\) ).

Phương pháp:

* Chứng minh hai tam giác bằng nhau hoặc tam giác cân để suy ra hai dây bằng nhau.

Từ đó sử dụng định lý: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+)  Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

+) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

Lời giải:

a) Vì \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\) nên \(OO' \bot AB\) (định lý)

Xét tam giác \(ADC\) có \(OO'\) là đường trung bình (vì \(O\) là trung điểm \(AC,O'\) là trung điểm \(AD\)) nên \(OO'//CD\) , suy ra \(AB \bot CD\) (quan hệ từ vuông góc đến song song).

Xét tam giác \(ADC\) có \(AC = AD\) (vì hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) có cùng bán kính) nên \(\Delta ACD\) cân tại \(A\) có \(AB\) là đường cao nên \(AB\) cũng là đường trung tuyến, suy ra \(BC = BD\) hay  \(\overparen{BC}\) =\(\overparen{BD}\)  (vì \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) là hai đường tròn bằng nhau).

b) Vì \(A,E,D\) cùng thuộc đường tròn (O') nên O'E = OA=AD = \(\frac{1}{2}CD\) nên tam giác \(AED\) vuông tại \(E\) (Đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó vuông)

\(\Rightarrow \widehat {DEC} = 90^\circ .\)

Xét tam giác \(DEC\) vuông tại \(E\) có \(B\) là trung điểm của CD (cmt)\(\Rightarrow EB = \dfrac{{DC}}{2} = BD = EB\) (Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Suy ra  \(\overparen{EB}\)=\(\overparen{BD}\) (2 dây bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau), do đó \(B\) là điểm chính giữa cung \(ED.\). 

Bài 12 trang 72 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

 Cho tam giác \(ABC\). Trên tia đối của tia \(AB\) lấy một điểm \(D\) sao cho \(AD = AC\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) ngoại tiếp tam giác \(DBC\). Từ \(O\) lần lượt hạ các đường vuông góc \(OH\), \(OK\) với \(BC\) và \(BD\) \((H \in BC, K \in BD)\).

a) Chứng minh rằng \(OH > OK\).

b) So sánh hai cung nhỏ \(\overparen{BD}\) và \(\overparen{BC}\).

Phương pháp:

a) Sử dụng định lý: "Tổng hai cạnh trong một tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại"

So sánh khoảng cách từ tâm đến dây cung:

Trong một đường tròn:

- Dây cung nào lớn hơn thì gần tâm hơn

- Dây cung nào gần tâm hơn thì lớn hơn.

b) Sử dụng: Định lý liên hệ giữa cung và dây: "Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Lời giải:

a) Xét ΔABC có: BC < AB + AC (Bất đẳng thức tam giác)

Mà AD = AC (gt)

⇒ BC < AB + AD = BD

Mà OH là khoảng cách từ O đến dây BC

OK là khoảng cách từ O đến dây BD

⇒ OH > OK.( định lý về khoảng cách từ tâm đến dây)

b) Vì BD > BC

nên \(\overparen{BC}\) < \(\overparen{BD}\) (dây lớn hơn căng cung lớn hơn) 

Bài 13 trang 72 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

 Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Phương pháp: 

+ Dựa vào tính chất tam giác cân và tính chất hai đường thẳng song song để chỉ ra các cung có số đo bằng nhau.

+ Sử dụng : “ Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau”

Lời giải:

Tâm đường tròn nằm trong hai dây song song

Giả sử \(AB\) và \(CD\) là các dây song song của đường tròn \((O)\). Ta chứng minh \(\overparen{AC}\)= \(\overparen{BD}\).

Kẻ \(OI \bot AB\) \((I \in AB)\) và \(OK \bot CD (K\in CD)\).

Do \(AB //CD\) nên \(OI \bot CD\) (Đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng kia )

Do đó, OI trùng với OK (Qua O chỉ có 1 đường thẳng vuông góc với CD) hay \(I,O,K\) thẳng hàng.

Do các tam giác \(OAB, OCD\) là các tam giác cân đỉnh \(O\) nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là phân giác.

Vì vậy ta có: \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}} \) và \( \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\)

Ta có: \(\widehat {AOC} = {180^0} - \widehat {{O_1}} - \widehat {{O_3}} = {180^0} - \widehat {{O_2}} - \widehat {{O_4}} = \widehat {BOD}\)

Suy ra  \(\overparen{AC}\)= \(\overparen{BD}\).

Bài 14 trang 72 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại 

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tam giác cân

Chứng minh hai góc ở tâm bằng nhau để suy ra các cung bằng nhau.

Lời giải:

Giả sử đường tròn \( (O)\) có đường IK và I là điểm chính giữa cung AB.

a) Vì \(I\) là điểm chính giữa của \(\overparen{AB}\), suy ra \(\overparen{IA}\) = \(\overparen{IB}\) \(⇒ IA = IB\)

Ta có: \(OA = OB =\) bán kính. Suy ra đường kính \(IK\) là đường trung trực của dây \(AB\). Vậy \(HA = HB\) (đpcm)

Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Chứng minh: Vì \(∆ AOB\) cân tại \(O\) và \(HA = HB\) nên \(OH\) là đường phân giác của góc \(\widehat{AOB}\). Suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

Từ đó suy ra \(\overparen{IA}\) =  \(\overparen{IB}\)

Tuy nhiên khi \(AB\) đi qua tâm thì điều này chưa chắc đúng vì nếu \(AB\) tạo với \(IK\) góc \(\widehat {AOI} = 30^\circ  \Rightarrow \widehat {BOI} = 150^\circ  \) \(\Rightarrow \overparen{IA}<\overparen{IB}\) ( vì \(\widehat {AOI}<\widehat {BOI}\)

Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là:

Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

b) Vì \(I\) là điểm chính giữa của \(\overparen{AB}\), suy ra \(\overparen{IA}\) = \(\overparen{IB}\) \(⇒ IA = IB\)

Ta có: \(OA = OB =\) bán kính. Suy ra đường kính \(IK\) là đường trung trực của dây \(AB\)

Nên \(OI\) hay \(IK\) là đường trung trực của dây \(AB\). Suy ra \(IK \bot AB\).

* Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Kẻ đường kính \(KI \bot AB\).

Ta có \(OA = OB ⇒ ∆OAB\) cân tại \(O\)

Mà \(OH \bot AB\) nên \(OH\) là đường cao đồng thời là đường phân giác của \(\widehat{AOB}\) suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

Ta có \(∆OAI = ∆OBI\) (c.g.c). Do đó \(AI = IB\). Suy ra \(\overparen{AI}\) = \(\overparen{IB}\).

Vậy \(I\) là điểm chính giữa của \(\overparen{AB}\)

Sachbaitap.com