Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B’C’ và C’D’ . Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H’), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A’. Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H’).
Hướng dẫn làm bài:
Giả sử đường thẳng EF cắt đường thẳng A’B’ tại I và cắt đường thẳng A’D’ tại J. AI cắt BB’ tại L, AJ cắt DD’ tại M. Gọi V0 là thể tích khối tứ diện AA’IJ. V là thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’
Vì EB’ = EC’ và B’I // C’F nên \(IB' = FC' = {{A'B'} \over 2}\)
Do đó \({{IB'} \over {IA'}} = {1 \over 3}\)
Để ý rằng BE’ // A’J , B’L //AA’
Ta có \({{IL} \over {IA}} = {{IE} \over {{\rm{IJ}}}} = {{IB'} \over {IA'}} = {1 \over 3}\)
Từ đó suy ra: \({{{V_{I.ELB'}}} \over {{V_{I.JAA'}}}} = {({1 \over 3})^3} = {1 \over {27}}\)
Do đó \({V_{I.ELB'}} = {1 \over {27}}{V_0}\)
Tương tự \({V_{J.MFD'}} = {1 \over {27}}{V_0}\)
Gọi AB = a, BC = b , đường cao hạ từ A xuống (A’B’C’D’) là h thì
\(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = hab.\sin \widehat {BAD}\),
\({V_0} = {1 \over 3}({1 \over 2}.{{3a} \over 2}.{{3b} \over 2}\sin \widehat {BAD})h = {{3V} \over 8}\)
Vậy \({V_{(H)}} = {V_0} - {2 \over {27}}{V_0} = {{25} \over {27}}{V_0} = {{25} \over {27}}.{{3V} \over 8} = {{25} \over {72}}V,{V_{(H')}} = {{47} \over {72}}V\),
\({V_{(H')}} = {{47} \over {72}}V,{{{V_{(H)}}} \over {{V_{(H')}}}} = {{25} \over {47}}\)
Sachbaitap.com
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục