Bài 12 trang 56 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hai đường thẳng chéo nhau d₁, d₂ nhận IJ là đường vuông góc chung \(\left( {I \in {d_1},J \in {d_2}} \right),{\rm{IJ}} = a\). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm I và vuông góc với d₂, đặt \(\alpha \) là góc giữa d₁ và (P). Xét một mặt phẳng (Q) song song với (P) cắt d₁, d₂ lần lượt tại A₁, A₂. Gọi H₁ là hình chiếu của A₁ trên (P).

1) Chứng minh rằng các điểm I, J, A₁, A₂, H₁ cùng thuộc một mặt cầu. Chỉ rõ tâm của mặt cầu đó và tính diện tích mặt cầu theo a, \(\alpha \) và khoảng cách h giữa hai mặt phẳng (P), (Q).

2) Chứng minh rằng khi mp(Q) thay đổi thì tâm mặt cầu nói trên luôn thuộc một đường thẳng cố định và mặt cầu ấy luôn đi qua một đường tròn cố định.

Giải

1) Vì (P) đi qua \(I\) và \((P) \bot {d_2},{\rm{IJ}} \bot {d_2}\) nên \({\rm{IJ}} \subset (P).\)

Vì H₁ là hình chiếu của A₁ trên (P) nên \(\widehat {{A_1}I{H_1}} = \alpha \) và \({A_1}{H_1}//{d_2}\). Do mp(Q) song song với mp(P) và (Q) cắt d₁, d₂ tại A₁, A₂ nên \({A_1}{A_2}//J{H_1}\).

Suy ra \(J{H_1}{A_1}{A_2}\) là hình chữ nhật.

Mặt khác \(\widehat {JI{A_1}} = {90^0}\) vậy các điểm I, J, A₁, A₂, H₁ cùng thuộc một mặt cầu, tâm mặt cầu là trung điểm O của JA₁, bán kính của mặt cầu là \(R = {1 \over 2}J{A_1}.\)

Ta có \(J{A_1}^2 = {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} + IA_1^2 = {a^2} + {{{h^2}} \over {{{\sin }^2}\alpha }}\)

Từ đó \(R = {1 \over {2\sin \alpha }}\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}\alpha  + {h^2}} .\)

Diện tích mặt cầu là \(S = {\pi  \over {{{\sin }^2}\alpha }}({a^2}{\sin ^2}\alpha  + {h^2}).\)

2) Khi mặt phẳng (Q) thay đổi thì A₁ luôn thuộc d₁ mà \(\overrightarrow {JO}  = {1 \over 2}\overrightarrow {J{A_1}} ,\) vậy O thuộc đường thẳng d₃ đi qua trung điểm K của IJ và d₃ song song với d₁. Xét mặt phẳng (R) chứa IJ và vuông góc với d₃ thì (R ) cắt mặt cầu nêu trên theo đường tròn tâm K, mà K là trung điểm của IJ nên IJ là đường kính của đường tròn. Đường tròn này cố định, từ đó ta có mặt cầu đi qua các điểm I, J, A₁, A₂, H₁ luôn đi qua một đường tròn cố định.

Sachbaitap.com