Bài 14 trang 56 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho đường tròn đường kính AB = 2R nằm trong mặt phẳng (P). Gọi O₁ là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho SO₁ vuông góc với (P) và SO₁ = 2R. Tính thể tích của khối cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm S.

Giải

Gọi \(\Delta \) là trục của đường tròn đã cho thì \(\Delta // S{O_1}\).

Trong \(mp(S{O_1},\Delta ),\) đường trung trực của SA cắt \(\Delta \) tại O₂ thì O₂ là tâm mặt cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm S, bán kính mặt cầu này bằng \({O_2}A = {O_2}S\).

Xét các tam giác vuông \({O_2}AO\) và \({O_2}{\rm{IS}}\) ( ở đó \({O_2}I// A{O_1})\), ta có

\(\eqalign{  & {O_2}{S^2} = 4{R^2} + {(2R - O{O_2})^2}  \cr  & {O_2}A^2 = {R^2} + OO_2^2. \cr} \)

Từ đó

\(4{R^2} + {(2R - O{O_2})^2} = {R^2} + OO_2^2,\) suy ra \(O{O_2} = {{7R} \over 4}\).

Vậy bán kính mặt cầu là \(\sqrt {{R^2} + {{49} \over {16}}{R^2}}  = {{R\sqrt {65} } \over 4}\)

Và thể tích khối cầu phải tìm là \({{65} \over {48}}\sqrt {65} \pi {R^3}.\)

Sachbaitap.com