Bài 17, 18, 19 trang 49 SGK Toán 9 tập 2 - Công thức nghiệm thu gọn

Bài 17 trang 49 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Xác định \(a, b', c\) rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a) \(4{x^2} + 4x + 1 = 0\)

b) \(13852{x^2} - 14x + 1 = 0\)

c) \(5{x^2} - 6x + 1 = 0\)

d) \( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x + 4 = 0\)

Lời giải:

a) 

\(4{x^2} + 4x + 1 = 0\)

Ta có: \(a = 4,\ b' = 2,\ c = 1\)

Suy ra \(\Delta'  = {2^2} - 4.1 = 0\)

Do đó phương trình có nghiệm kép:

\({x_1} = {x_2} = \dfrac{ - 2}{4} =  - \dfrac{1 }{ 2}\).

b) 

\(13852{x^2} - 14x + 1 = 0\)

Ta có: \(a = 13852,\ b' =  - 7,\ c = 1\)

Suy ra \(\Delta'  = {( - 7)^2} - 13852.1 =  - 13803 < 0\) 

Do đó phương trình vô nghiệm.

c) 

\(5{x^2} - 6x + 1 = 0\)

Ta có: \(a = 5,\ b' =  - 3,\ c = 1\)

Suy ra \(\Delta ' = {( - 3)^2} - 5.1 = 4 > 0\).

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{3 + \sqrt 4}{5}=\dfrac{5}{5} = 1\)

\({x_2} = \dfrac{3 - \sqrt 4}{5}=\dfrac{1}{5}.\)

d) 

\( - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x + 4 = 0\)

Ta có: \(a =  - 3,\ b' = 2\sqrt 6 ,\ c = 4\)

Suy ra \(\Delta ' = {(2\sqrt 6 )^2} - ( - 3).4 = 36 > 0\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{ - 2\sqrt 6  + 6}{ - 3} = \dfrac{2\sqrt 6  - 6}{3}\)

\({x_2} = \dfrac{ - 2\sqrt 6  - 6}{ - 3} = \dfrac{2\sqrt {6 }+6 }{3}\)

Bài 18 trang 49 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Đưa các phương trình sau về dạng \(ax^2 + 2b’x + c = 0\) và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính để viết gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai): 

a) \(3{x^2} - 2x = {x^2} + 3\)

b) \({(2x - \sqrt 2 )^2} - 1 = (x + 1)(x - 1)\)

c) \(3{x^2} + 3 = 2(x + 1)\)

d) \(0,5x(x + 1) = {(x - 1)^2}\)

Lời giải: 

a) 

\(3{x^2} - 2x = {x^2} + 3\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - {x^2} - 3=0\)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 3 = 0\)

Suy ra \(a = 2,\ b' =  - 1,\ c =  - 3\)

\(\Rightarrow \Delta ' = {( - 1)^2} - 2.( - 3) = 7 > 0\).

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{1 + \sqrt 7 }{2} \approx 1,82\)

\({x_2} = \dfrac{1 - \sqrt 7 }{2} \approx  - 0,82\)

b) 

\({(2x - \sqrt 2 )^2} - 1 = (x + 1)(x - 1)\)

\(\Leftrightarrow 4x^2-4\sqrt 2 x + 2- 1 = x^2 -1\)

\(\Leftrightarrow 4x^2-4\sqrt 2 x + 2 - 1 - x^2 +1=0\)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} - 4\sqrt 2 x + 2 = 0\)

Suy ra \(a = 3,\ b' =  - 2\sqrt 2 ,\ c  = 2\)

\(\Rightarrow \Delta ' = {( - 2\sqrt 2 )^2} - 3.2 = 2 > 0\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{2\sqrt 2  + \sqrt 2 }{3} = \sqrt 2  \approx 1,41\)

\({x_2} = \dfrac{2\sqrt 2  - \sqrt 2 }{3} = \dfrac{\sqrt 2 }{3} \approx 0,47\)

c) 

\(3{x^2} + 3 = 2(x + 1) \)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} +3- 2x -2 = 0\)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} - 2x +1 = 0\)

Suy ra  \(a = 3,\ b' =  - 1,\ c = 1\)

\(\Rightarrow \Delta ' = {( - 1)^2} - 3.1 =  - 2 < 0\)

Do đó phương trình vô nghiệm.

d) 

\(0,5x(x + 1) = {(x - 1)^2} \)

\(\Leftrightarrow 0,5x^2 + 0,5x = x^2-2x+1  \)

\(\Leftrightarrow 0,5x^2 + 0,5x -x^2+2x-1=0  \)

\(\Leftrightarrow -0,5 x^2 +2,5 x -1 = 0\)

\(\Leftrightarrow  x^2 -5 x +2 = 0\)

Suy ra \(a = 1;\ b' =  - 2,5;\ c = 2\)

\(\Rightarrow \Delta ' = {( - 2,5)^2} - 1.2 = 4,25 > 0\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = 2,5 + \sqrt {4,25}  \approx 4,56\)

\({x_2} = 2,5 - \sqrt {4,25}  \approx 0,44\)

Bài 19 trang 49 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Đố em biết vì sao khi \(a > 0\) và phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) vô nghiệm thì\(a{x^2} + bx + c > 0\) với mọi giá trị của \(x \)?

Phương pháp: 

+) Sử dụng phương trình vô nghiệm khi \(\Delta < 0\).

+) Biến đổi \(ax^2+bx+c=a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2}-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\) rồi đánh giá từng hạng tử.

Lời giải:

Khi \(a > 0\) và phương trình vô nghiệm thì \(\Delta = b{^2} - 4ac<0\).

Do đó: \(-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} > 0\) 

Lại có: 

\(\begin{array}{l}a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \dfrac{b}{a}x} \right) + c\\ = a\left( {{x^2} + 2.\dfrac{b}{{2a}}.x + \dfrac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right) - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}} + c\\ = a{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} - \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\end{array}\)

\(=a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2}+ {\left(-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right)}\)

Vì \(a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2} \ge 0\)  với mọi \(x \in R\), mọi \(a>0\).

Lại có \(-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} > 0\)  (cmt)

Vì tổng của số không âm và số dương là một số dương do đó

\(a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2}+ {\left(\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right)} >0\)  với mọi \(x\).

Hay \(a{x^2} + bx + c >0\) với mọi \(x\).

Sachbaitap.com