Bài 1.9 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Nếu \(\lim {v_n} = 0\) và \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n thì \(\lim {u_n} = 0\). Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:

a)  \({u_n} = {1 \over {n!}}\) ;

b) \({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {2n - 1}}\) ;

c) \({u_n} = {{2 - n{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {1 + 2{n^2}}}\) ;

d) \({u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\cos n\)      ;

e) \({u_n} = {5^n} - \cos \sqrt n \pi \)   

Giải:

a)     Vì \(\left| {{1 \over {n!}}} \right| < {1 \over n}\) với mọi n và \(\lim {1 \over n} = 0\) nên \(\lim {1 \over {n!}} = 0\)

b)     0 ;             c) 0 ;                   d) 0 ;

e)     Ta có \({u_n} = {5^n} - \cos \sqrt n \pi  = {5^n}\left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right)\)    (1)

Vì \(\left| {{{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right| \le {1 \over {{5^n}}}\) và \(\lim {1 \over {{5^n}}} = 0\) nên \(\lim {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}} = 0\)

Do đó, \(\lim \left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right) = 1 > 0\)      (2)

Mặt khác,  \(\lim {5^n} =  + \infty \)    (3)           

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\lim \left( {{5^n} - \cos \sqrt n \pi } \right) = \lim {5^n}\left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right) =  + \infty \)