Bài 2.13 trang 63 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong mặt phẳng \((\alpha )\) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với \((\alpha )\) ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \((\beta )\) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng \((\beta )\) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’ , C’, D’.

a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B’, C’ , D’ luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định.

b) Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành.

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có  \(\left\{ {\matrix{{BC \bot AB} \cr {BC \bot SA} \cr} } \right.\Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AB'\)

Ta lại có \(AB' \bot SC\) nên suy ra \(AB' \bot (SBC)\). Do đó \(AB' \bot B'C\)

Chứng minh tương tự ta có \(AD' \bot D'C\).

Vậy  \(\widehat {ABC} = \widehat {AB'C} = \widehat {AC'C} = \widehat {AD'C} = \widehat {ADC} = {90^0}\)

Từ đó suy ra 7 điểm A, B, C, D, B’ , C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu đường kính là AC.

b) Gọi r là bán kính mặt cầu, ta có \(r = {{AC} \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

Vậy  \(S = 4\pi {r^2} = 4\pi {({{a\sqrt 2 } \over 2})^2} = 2\pi {a^2}\) và \(V = {4 \over 3}\pi {r^3} = {4 \over 3}\pi {({{a\sqrt 2 } \over 2})^3} = {1 \over 3}\pi {a^3}\sqrt 2 \)

Sachbaitap.com