Bài 22, 23, 24, 25, 26, 27 trang 15, 16 SGK Toán 9 tập 1 - Luyện tập

Bài 22 trang 15 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính:

a) \( \sqrt{13^{2}- 12^{2}}\);                    b) \( \sqrt{17^{2}- 8^{2}}\);

c) \( \sqrt{117^{2} - 108^{2}}\);                 d) \( \sqrt{313^{2} - 312^{2}}\).

Lời giải: 

Câu a: Ta có:

\(\sqrt{13^{2}- 12^{2}}=\sqrt{(13+12)(13-12)}\)

                      \(=\sqrt{25.1}=\sqrt{25}\)

                      \(=\sqrt{5^2}=|5|=5\).

Câu b: Ta có:

\(\sqrt{17^{2}- 8^{2}}=\sqrt{(17+8)(17-8)}\)

                    \(=\sqrt{25.9}=\sqrt{25}.\sqrt{9}\)

                    \(=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}=|5|.|3|\).

                    \(=5.3=15\).

Câu c: Ta có:

\(\sqrt{117^{2} - 108^{2}} =\sqrt{(117-108)(117+108)}\)

                          \(=\sqrt{9.225}\) \(=\sqrt{9}.\sqrt{225}\)

                          \(=\sqrt{3^2}.\sqrt{15^2}=|3|.|15|\)

                          \(=3.15=45\).

Câu d: Ta có:

\(\sqrt{313^{2} - 312^{2}}=\sqrt{(313-312)(313+312)}\)

                          \(=\sqrt{1.625}=\sqrt{625}\)

                          \(=\sqrt{25^2}=|25|=25\).

Bài 23 trang 15 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Chứng minh.

a) \((2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 1\);

b) \((\sqrt{2006} - \sqrt{2005})\) và \((\sqrt{2006} + \sqrt{2005})\) là hai số nghịch đảo của nhau.

Phương pháp:

Sử dụng các công thức sau: 

+) \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

+) \((\sqrt{a})^2=a\),   với \(a \ge 0\).

+) Muốn chứng minh hai số là nghịch đảo của nhau ta chứng minh tích của chúng bằng \(1\). 

Lời giải: 

Câu a: Ta có:

\((2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1\)

Câu b: 

Ta tìm tích của hai số \((\sqrt{2006} - \sqrt{2005})\) và \((\sqrt{2006} + \sqrt{2005})\)

Ta có:

\((\sqrt{2006} + \sqrt{2005}).(\sqrt{2006} - \sqrt{2005})\)

= \((\sqrt{2006})^2-(\sqrt{2005})^2\)

\(=2006-2005=1\)

Do đó  \( (\sqrt{2006} + \sqrt{2005}).(\sqrt{2006} - \sqrt{2005})=1\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2006}-\sqrt{2005}=\dfrac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}\)

Vậy hai số trên là nghịch đảo của nhau.

Bài 24 trang 15 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) của các căn thức sau:

\(a)\) \( \sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) tại \(x =  - \sqrt 2 \); 

\(b)\) \( \sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)}\) tại \(a =  - 2;\,\,b =  - \sqrt 3 \).

Lời giải: 

a) Ta có: 

\( \sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) \(=\sqrt {4}. \sqrt {{{(1 + 6x + 9{x^2})}^2}} \)

                                   \(=\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2)^2}\)

                                   \(=\sqrt{2^2}.\sqrt{\left[1^2+2.3x+(3x)^2\right]^2}\)

                                   \(=2.\sqrt {{{\left[ {{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}} \right]}^2}} \)

                                   \(=2.\left|(1+3x)^2\right|\)

                                   \(=2(1+3x)^2\).

 (Vì  \( (1+3x)^2 > 0 \) với mọi \(x\)  nên \(\left|(1+3x)^2\right|=(1+3x)^2  \))

Thay \(x =  - \sqrt 2 \) vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

                                \( 2{\left[ {1 + 3.(-\sqrt 2) } \right]^2}=2(1-3\sqrt{2})^2\).

Bấm máy tính, ta được: \( 2{\left( {1 - 3\sqrt 2 } \right)^2} \approx 21,029\).

b) Ta có:

\( \sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)} =\sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}\)

                                  \(=\sqrt{(3a)^2.(b^2-2.b.2+2^2)}\)

                                  \(=\sqrt{(3a)^2}. \sqrt{(b-2)^2}\)

                                  \(=\left|3a\right|. \left|b-2\right| \)

Thay \(a = -2\) và \(b =  - \sqrt 3 \) vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

\(\left| 3.(-2)\right|. \left| -\sqrt{3}-2\right| =\left|-6\right|.\left|-(\sqrt{3}+2) \right|\)

                                     \(=6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12\).

Bấm máy tính, ta được: \(6\sqrt{3}+12 \approx 22,392\). 

Bài 25 trang 16 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Tìm \(x\) biết:

a) \( \sqrt{16x}= 8\);                        b) \( \sqrt{4x} = \sqrt{5}\);

c) \( \sqrt{9(x - 1)} = 21\);             d) \( \sqrt{4(1 - x)^{2}}- 6 = 0\).

Phương pháp:

- Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa: \(\sqrt A \) có nghĩa khi và chỉ khi \(A \ge 0\)

- Bình phương hai vế rồi giải bài toán tìm x.

- Ta sử dụng các cách làm sau: 

\(\sqrt A  = B\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}\)

\(\sqrt A  = \sqrt B \left( {A \ge 0;B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = B\)

Lời giải: 

a) Điều kiện: \(x \ge 0\)

\(\sqrt {16x}  = 8\)\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {16x} } \right)^2} = {8^2}\) \( \Leftrightarrow 16x = 64\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{{64}}{{16}} \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(x=4\).

Cách khác: 

\(\begin{array}{l}
\sqrt {16x} = 8 \Leftrightarrow \sqrt {16} .\sqrt x = 8\\
\Leftrightarrow 4\sqrt x = 8 \Leftrightarrow \sqrt x = 2\\
\Leftrightarrow x = {2^2} \Leftrightarrow x = 4
\end{array}\)

b) Điều kiện: \(4x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)

 \(\sqrt {4x}  = \sqrt 5 \) \( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {4x} } \right)^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} \Leftrightarrow 4x = 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{4}\) (thỏa mãn điều kiện) 

Vậy \(x=\dfrac{5}{4}\).

c) Điều kiện: \(9\left( {x - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

\(\sqrt {9\left( {x - 1} \right)}  = 21\)\( \Leftrightarrow 3\sqrt {x - 1}  = 21\)\( \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  = 7\) \( \Leftrightarrow x - 1 = 49 \Leftrightarrow x = 50\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(x=50\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {9\left( {x - 1} \right)} = 21 \Leftrightarrow 9\left( {x - 1} \right) = {21^2}\\
\Leftrightarrow 9\left( {x - 1} \right) = 441 \Leftrightarrow x - 1 = 49\\
\Leftrightarrow x = 50
\end{array}\)

d) Điều kiện: \(x \in R\) (vì \(4.(1-x)^2\ge 0\) với mọi \(x)\)

\(\sqrt {4{{\left( {1 - x} \right)}^2}}  - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2}}  = 6\) \( \Leftrightarrow \left| {1 - x} \right| = 3\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - x = 3\\1 - x =  - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 4\end{array} \right.\) 

Vậy \(x=-2;x=4.\)

Bài 26 trang 16 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

a) So sánh \( \sqrt{25 + 9}\) và \( \sqrt{25} + \sqrt{9}\);

b) Với \(a > 0\) và \(b > 0\), chứng minh \( \sqrt{a + b} < \sqrt{a}+\sqrt{b}\).

Phương pháp:

+) Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai:

\(a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}\),   với \(a,\ b \ge 0\).

+) Sử dụng các công thức: với \(a ,\ b \ge 0\) , ta có:

 \((\sqrt{a})^2=a\). 

 \(\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{ab}\).

Lời giải: 

a) Ta có: 

\(+)  \sqrt{25 + 9}=\sqrt{34}\).

\(+)  \sqrt{25} + \sqrt{9}=\sqrt{5^2}+\sqrt{3^2}=5+3\)

\(=8=\sqrt{8^2}=\sqrt{64}\).

Vì \(34<64\) nên \(\sqrt{34}<\sqrt{64}\)

Vậy \(\sqrt{25 + 9}<\sqrt{25} + \sqrt{9}\)

b) Với \(a>0,b>0\), ta có

\(+)\, (\sqrt{a + b})^{2} = a + b\).

\(+) \,(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2}= (\sqrt{a})^2+ 2\sqrt a .\sqrt b +(\sqrt{b})^2\)

 \( = a +2\sqrt{ab}  + b\)

 \(=(a+b) +2\sqrt{ab}\). 

Vì \(a > 0,\ b > 0\) nên \(\sqrt{ab} > 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{ab} >0\)

\(\Leftrightarrow (a+b) +2\sqrt{ab} > a+b\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{ b})^2 > (\sqrt{a+b})^2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\) (đpcm)

Bài 27 trang 16 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

So sánh

a) \(4\) và \(2\sqrt{3}\);           b) \(-\sqrt{5}\) và \(-2\)

Lời giải: 

a)  Ta có:

\(\begin{array}{l}
4 > 3 \Leftrightarrow \sqrt 4 > \sqrt 3 \\
\Leftrightarrow 2 > \sqrt 3 \\
\Leftrightarrow 2.2 > 2.\sqrt 3 \\
\Leftrightarrow 4 > 2\sqrt 3
\end{array}\)

Cách khác:

Ta có:  

\(\left\{ \matrix{
{4^2} = 16 \hfill \cr
{\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = {2^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 4.3 = 12 \hfill \cr} \right.\)

Vì \(16> 12 \Leftrightarrow \sqrt {16} > \sqrt 12 \)

Hay \(4 > 2\sqrt 3\).

b) Vì \(5>4 \Leftrightarrow \sqrt 5 > \sqrt 4 \)

\(\Leftrightarrow \sqrt 5 > 2\)   

\(\Leftrightarrow -\sqrt 5 < -2\) (Nhân cả hai vế bất phương trình trên với \(-1\))

Vậy \(-\sqrt{5} < -2\).

Sachbaitap.com