Bài 2.30 trang 66 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.

Cho đường tròn tâm O bán kính r’. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA = h  cho trước và có đáy ABCD  là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Hướng dẫn làm bài:

a) Trong mặt phẳng chứa đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác ABCD ta kẻ đường kính qua O vuông góc với dây cung AC tại I. Ta có IA = IC và OI // BD. Gọi O’ là tâm mặt cầu đi qua 5 đỉnh của hình chóp. Khi đó điểm O’ phải nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Ta có  \(d \bot (ABCD)\)  tại O. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Ta có  MI // SA nên  \(MI \bot (ABCD)\)  tại I. Từ M kẻ đường thẳng d’//OI cắt d tại O’. Vì  \(d' \bot (SAC)\) tại M nên ta có  O’C = O’S và O’C là bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có \(r = O'C = \sqrt {OO{'^2} + O{C^2}}  = \sqrt {M{I^2} + r{'^2}}\)

\( = \sqrt {{{({h \over 2})}^2} + r{'^2}}  = {{\sqrt {{h^2} + 4r{'^2}} } \over 2}\)

Vì  SA không đổi nên ta có V_SABCD  lớn nhất khi và chỉ khi S_ABCD  lớn nhất. Ta có \({S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD\)  trong đó AC và BD là hai dây cung vuông góc với nhau. Vậy AC.BD lớn nhất khi và chỉ khi AC = BD = 2r’ , nghĩa là tứ giác ABCD là một hình vuông. 

Sachbaitap.com