Bài 3 trang 223 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Xét hình lăng trụ tam giác đều với chiều cao h, nội tiếp một mặt cầu bán kính R (h < 2R) (tức sáu đỉnh của hình lăng trụ nằm trên mặt cầu đó).

a) Tính cạnh đáy của hình lăng trụ.

b) Tính thể tích của khối lăng trụ.

c) Tính h theo R để mỗi mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông.

Giải

(h.107).

a) Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ, I là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó ta có : \(OA = OB = OC = R,OI = {1 \over 2}h.\) Tam giác OAI vuông tại I nên\(A{I^2} = O{A^2} - {\rm{ }}O{I^2} = {\rm{ }}{R^2}\; - {{{h^2}} \over 4}.\) 

IA là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên

              \(AB = IA\sqrt 3  = \sqrt {3\left( {{R^2} - {{{h^2}} \over 4}} \right)} .\)

Vậy cạnh đáy của hình lăng trụ bằng

                    \({1 \over 2}\sqrt {3\left( {4{R^2} - {h^2}} \right)} .\)

b) Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là :

\(V = {S_{ABC}}.h = {{A{B^2}\sqrt 3 } \over 4}h = {{3\sqrt 3 } \over {16}}\left( {4{R^2} - {h^2}} \right)h.\)

c) Mỗi mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông khi và chỉ khi AB = h, tức \({1 \over 2}\sqrt {3\left( {4{R^2} - {h^2}} \right)}  = h \Leftrightarrow h = \sqrt {{{12} \over 7}} R\) (để ý rằng \(\sqrt {{{12} \over 7}} \)< 2).

Sachbaitap.com