Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 3.32 trang 154 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Bình chọn:
4 trên 2 phiếu

a) Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB).

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang svuông ABCD vuông tại A và D, có \(AB = 2{\rm{a}},A{\rm{D}} = DC = a\), có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.

a) Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB).

b) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), tính \(\tan \varphi \).

c) Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Hãy xác định \(\left( \alpha  \right)\) và xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với \(\left( \alpha  \right)\)

Giải:

a) Ta có:

\(\left. \matrix{
C{\rm{D}} \bot A{\rm{D}} \hfill \cr
C{\rm{D}} \bot SA \hfill \cr} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {SC{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\)

Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Ta có AICD là hình vuông và IBCD là hình bình hành. Vì \(DI\parallel CB\) và \(DI \bot CA\) nên \(AC \bot CB\). Do đó \(CB \bot \left( {SAC} \right)\).

Vậy \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

b) Ta có:

\(\varphi  = \widehat {SCA} \Rightarrow \tan \varphi  = {{SA} \over {AC}} = {a \over {a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

c)

\(\left. \matrix{
DI \bot AC \hfill \cr
DI \bot SA \hfill \cr} \right\} \Rightarrow DI \bot \left( {SAC} \right)\)

Vậy \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) chính là mặt phẳng (SDI). Do đó thiết diện của \(\left( \alpha  \right)\) với hình chóp S.ABCD là tam giác đều SDI có chiều dài mỗi cạnh bằng \(a\sqrt 2 \). Gọi H là tâm hình vuông AICD ta có \(SH \bot DI\) và \(SH = {{DI\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\). Tam giác SDI có diện tích:

\(\Delta S{\rm{D}}I = {1 \over 2}SH.DI = {1 \over 2}{{a\sqrt 6 } \over 2}.a\sqrt 2  = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.

Bài viết liên quan