Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang svuông ABCD vuông tại A và D, có \(AB = 2{\rm{a}},A{\rm{D}} = DC = a\), có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.
a) Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB).
b) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), tính \(\tan \varphi \).
c) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Hãy xác định \(\left( \alpha \right)\) và xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với \(\left( \alpha \right)\)
Giải:
a) Ta có:
\(\left. \matrix{
C{\rm{D}} \bot A{\rm{D}} \hfill \cr
C{\rm{D}} \bot SA \hfill \cr} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {SC{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\)
Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Ta có AICD là hình vuông và IBCD là hình bình hành. Vì \(DI\parallel CB\) và \(DI \bot CA\) nên \(AC \bot CB\). Do đó \(CB \bot \left( {SAC} \right)\).
Vậy \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
b) Ta có:
\(\varphi = \widehat {SCA} \Rightarrow \tan \varphi = {{SA} \over {AC}} = {a \over {a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
c)
\(\left. \matrix{
DI \bot AC \hfill \cr
DI \bot SA \hfill \cr} \right\} \Rightarrow DI \bot \left( {SAC} \right)\)
Vậy \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) chính là mặt phẳng (SDI). Do đó thiết diện của \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp S.ABCD là tam giác đều SDI có chiều dài mỗi cạnh bằng \(a\sqrt 2 \). Gọi H là tâm hình vuông AICD ta có \(SH \bot DI\) và \(SH = {{DI\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\). Tam giác SDI có diện tích:
\(\Delta S{\rm{D}}I = {1 \over 2}SH.DI = {1 \over 2}{{a\sqrt 6 } \over 2}.a\sqrt 2 = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)
Sachbaitap.com
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục