a) Cho phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0\)
Xác định m để nó là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
b) Cho phương trình:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x\cos \alpha - 2y\sin \alpha - 4z \)
\(- (4 + {\sin ^2}\alpha ) = 0\)
Xác định \(\alpha \) để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm \(\alpha \) để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải
a) Ta có a = -2m, b = 2, c = m, \(d = {m^2} + 4m.\)
Phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi
\(\eqalign{ & {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \cr&= {( - 2m)^2} + {2^2} + {m^2} - {m^2} - 4m > 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} + 3 > 0\;\forall m. \cr} \)
Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi m. Bán kính mặt cầu là :
\(R = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \Rightarrow {R_{\min }} = \sqrt 3 \) khi \(m = {1 \over 2}.\)
b) Ta có :\(a = \cos \alpha ,b = - \sin \alpha ,c = - 2,d = - (4 + {\sin ^2}\alpha )\)
\(\eqalign{ & {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \cr&= {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha + 4 + 4 + {\sin ^2}\alpha \cr & = 9 + {\sin ^2}\alpha > 0\;\forall \alpha . \cr} \)
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi \(\alpha \).
Khi đó \(R = \sqrt {9 + {{\sin }^2}\alpha } \)
Vì \(0 \le {\sin ^2}\alpha \le 1\) nên \(3 \le R \le \sqrt {10} \)
Vậy \({R_{\min }} = 3\) khi \(\alpha = k\pi ,(k \in \mathbb Z).\)
\({R_{\max }} = \sqrt {10} \) khi \(\alpha = {\pi \over 2} + l\pi (l \in \mathbb Z).\)
Sachbaitap.com
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục