Giải phương trình
\(\cot x - \tan x + 4\sin 2x = {2 \over {\sin 2x}}\)
Giải
Hướng dẫn: Đối với những phương trình lượng giác chứa tanx, cotx, sin2x hoặc cos2x, ta có thể đưa về phương trình chứa cosx, sinx, sin2x, hoặc cos2x ngoài ra cũng có thể đặt ẩn phụ t = tanx để đưa về một phương trình theo t.
Cách 1: Điều kiện của phương trình:
\(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ne \pm 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \cot x - \tan x + 4\sin 2x = {2 \over {\sin 2x}} \cr
& \Leftrightarrow {{\cos x} \over {\sin x}} - {{\sin x} \over {\cos x}} + 4\sin 2x - {2 \over {\sin 2x}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \over {\sin x.\cos x}} + 4\sin 2x - {2 \over {\sin 2x}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {{2\cos 2x} \over {\sin 2x}} + 4\sin 2x - {2 \over {\sin 2x}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\cos 2x + 4{\sin ^2}2x - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x + 2\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - \cos 2x - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 1{\rm{ (loại)}} \hfill \cr
\cos 2x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow 2x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in Z \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k\pi ,k \in Z \cr} \)
Cách 2. Đặt t = tanx
Điều kiện t ≠ 0
Phương trình đã cho có dạng
\(\eqalign{
& {1 \over t} - t + 4.{{2t} \over {1 + {t^2}}} = {{1 + {t^2}} \over t} \cr
& \Leftrightarrow {{1 - {t^2}} \over t} + {{8t} \over {1 + {t^2}}} - {{1 + {t^2}} \over t} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 - {t^4} + 8{t^2} - {\left( {1 + {t^2}} \right)^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow - 2{t^4} + 8{t^2} - 2{t^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {t^4} - 3{t^2} = 0 \cr
& \Rightarrow {t^2}\left( {{t^3} - 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0{\rm{ }}\left( {{\rm{loại \,\, do}}\left( 2 \right)} \right) \hfill \cr
t = \pm \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \tan x = \pm \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k\pi ,k \in Z \cr} \)
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục