Bài 4 trang 171 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}}\,\,{\rm{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

a)      Chứng minh rằng \({u_n} > 0\) với mọi n.

b)      Biết \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạnđó.

Giải:

a)      Chứng minh bằng quy nạp: \({u_n} > 0\) với mọi n.     (1)

-          Với n = 1 ta có \({u_1} = 1 > 0\)

-          Giả sử  (1) đúng với \(n = k \ge 1\) nghĩa là \({u_k} > 0\) ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Ta có \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}}\). Vì \({u_k} > 0\) nên \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}} > 0\)

-          Kết luận: \({u_n} > 0\) với mọi n.

b)      Đặt

\(\eqalign{
& \lim {u_n} = a \cr
& {u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr
& \Rightarrow \lim {u_{n + 1}} = \lim {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr
& \Rightarrow a = {{2a + 3} \over {a + 2}} \Rightarrow a = \pm \sqrt 3 \cr}\)

Vì \({u_n} > 0\) với mọi n, nên \(\lim {u_n} = a \ge 0\). Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = \sqrt 3 \)