Bài 43 trang 125 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm M₀(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng

x-y+z-4=0 và 3x-y+z-1=0.

b) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng y+2z-4=0 và x+y-z+3=0, đồng thời song song với mặt phẳng x+y+z-2=0.

c) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x-z+7=0.

Giải

a) Gọi M(x;y;z) là điểm thuộc giao tuyến \(\Delta \) của hai mặt phẳng, khi đó tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{  x - y + z = 4 \hfill \cr  3x - y + z = 1. \hfill \cr}  \right.\)

Đây là hệ ba ẩn có hai phương trình. Ta tìm hai nghiệm nào đó của hệ.

Cho z=0, ta có \(\left\{ \matrix{  x - y = 4 \hfill \cr  3x - y = 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  x =  - {3 \over 2} \hfill \cr  y =  - {{11} \over 2}. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \({M_1}( - {3 \over 2}; - {{11} \over 2};0) \in \Delta .\)

Cho y=0, ta có \(\left\{ \matrix{  x + z = 4 \hfill \cr  3x + z = 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  x =  - {3 \over 2} \hfill \cr  y = {{11} \over 2}. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \({M_2}\left( { - {3 \over 2};0;{{11} \over 2}} \right) \in \Delta .\)

Mặt phẳng phải tìm chính là mặt phẳng đi qua \({M_0},{M_1},{M_2}.\)

Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm trên, ta được:

\(15x-7y+7z-16=0.\)

b) Cách 1 : Ta thấy hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{  y + 2z - 4 = 0 \hfill \cr  x + y - z + 3 = 0 \hfill \cr  x + y + z - 2 = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Có một nghiệm duy nhất là\(\left( {{1 \over 2}; - 1;{5 \over 2}} \right).\)

Điều này có nghĩa là giao tuyến của hai mặt phẳng

\(y+2z-4=0\) và \(x+y-z+3=0\)

Cắt mặt phẳng \(x+y+z-2=0.\)

Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2 : Ta tìm hai điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.

Cho z = 0, ta được \({M_1}( - 7;4;0),\) Cho y = 0, ta được \({M_2}( - 1;0;2).\)

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng song song với mặt phẳng \(x+y+z-2=0\) thì \(\left( \alpha  \right)\) có dạng :

\(x + y + z + D = 0,D \ne  - 2.\)

Ta xác định D để \({M_1},{M_2} \in \left( \alpha  \right).\) D là nghiệm của hệ :

\(\left\{ \matrix{   - 7 + 4 + D = 0 \hfill \cr   - 1 + 2 + D = 0. \hfill \cr}  \right.\)

Hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Ta tìm hai điểm \({M_1},{M_2}\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.

Gọi \(\overrightarrow {n'}  = (2;0; - 1)\) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x-z+7=0\).

Khi đó mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua M₁ và có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {n'} } \right].\)

Sau các tính toán, ta có kết quả : Mặt phẳng cần tìm có phương trình :

\(x-22y+2z+21=0.\)

Sachbaitap.com