Bài 47 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

a) Viết phương trình mp(P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình \(2x + y - \sqrt 5 z = 0\) một góc \({60^0}.\)

b) Viết phương trình mp(Q) đi qua A(3;0;0), C(0;0;1) và tạo với mặt phẳng (Oxy) góc \({60^0}.\)

Giải

a) Mặt phẳng (P) chứa Oz nên có dạng Ax+By=0\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = (A;B;0).\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2;1; - \sqrt 5 ).\) Theo giả thiết của bài toán :

\(\eqalign{  & \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right)} \right| = {{\left| {2A + B} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {4 + 1 + 5} }} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \cos {60^0} = {1 \over 2}  \cr  &  \Leftrightarrow 2\left| {2A + B} \right| = \sqrt {10} .\sqrt {{A^2} + {B^2}}   \cr  &  \Leftrightarrow 6{A^2} + 16AB - 6{B^2} = 0. \cr} \)

Lấy B = 1 ta có

\(6{A^2} + 16A - 6 = 0 \Rightarrow \left[ \matrix{  {A_1} = {1 \over 3} \hfill \cr  {A_2} =  - 3. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy có hai mặt phẳng (P) :

\({1 \over 3}x + y = 0; - 3x + y = 0.\)

b) Mặt phẳng (Q) đi qua A, C và tạo với mp(Oxy) góc 60⁰ nên (Q) cắt Oy tại điểm B(0;b;0) khác gốc O\( \Rightarrow b \ne 0.\)

Khi đó phương trình của mặt phẳng (Q) là :

\({x \over 3} + {y \over b} + {z \over 1} = 1\) hay \(bx +3y+ 3bz - 3b = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}}  = (b;3;3b).\)

Mặt phẳng (Oxy) có vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k (0;0;1).\) Theo giả thiết, ta có

\(\eqalign{  & \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \cos {60^0} \Leftrightarrow {{\left| {3b} \right|} \over {\sqrt {{b^2} + 9 + 9{b^2}} }} = {1 \over 2}  \cr  &  \Leftrightarrow \left| {6b} \right| = \sqrt {10{b^2} + 9}  \Leftrightarrow {b^2} = {9 \over {26}} \Leftrightarrow b =  \pm {3 \over {\sqrt {26} }}. \cr} \)

Vậy có hai mặt phẳng (Q) :

\(\eqalign{  & x - \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0.  \cr  & x + \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0. \cr} \)

Sachbaitap.com