Bài 68 trang 133 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho đường thẳng d đi qua điểm M(0;0;1), có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u (1;1;3)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình 2x+y-z+5=0. Chứng minh d song song với \(\left( \alpha  \right)\). Tính khoảng cách giữa d và \(\left( \alpha  \right)\).

Giải

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u \) = (1; 1; 3), vec tơ pháp tuyến của mp(\(\alpha \)) là \(\overrightarrow n \) = (2; 1; -1).

Vì \(\overrightarrow n \).\(\overrightarrow u \) = 0 nên \(\overrightarrow n  \bot \overrightarrow u \). Dễ thấy \(M \notin (\alpha ).\)

Do đó \(d\) // (\(\alpha \)).

Khoảng cách từ M tới (\(\alpha \)) bằng khoảng cách giữa d và \((\alpha )\) nên

 \(d(d,(\alpha )) = {{\left| { - 1 + 5} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = {4 \over {\sqrt 6 }} = {{2\sqrt 6 } \over 3}.\)

Sachbaitap.com