Bài 90 trang 139 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d với mặt phẳng (P) có phương trình :

   \(\eqalign{  & d:{{x - 12} \over 4} = {{y - 9} \over 3} = {{z - 1} \over 1},  \cr  & (P):3x + 5y - z - 2 = 0 \cr} \)

a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P). Tính góc giữa d và (P).

b) Viết phương trình mặt phẳng (P’) đi qua điểm M₀ (1; 2; -1) và vuông góc với đường thẳng d.

c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc d' của d trên mặt phẳng (P).

d) Cho điểm B(1; 0; -1), hãy tìm tọa độ điểm B’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BB’.

e) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc và cắt đường thẳng d.

Giải

a) Đường thẳng d đi qua điểm (12 ; 9 ; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} \left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}}  = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }}5{\rm{ }};{\rm{ }} - 1} \right).\)

Vì \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = {\rm{ }}4.3{\rm{ }} + {\rm{ }}3.5{\rm{ }} + {\rm{ 1}}.\left( { - 1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}26 \ne 0\) nên d cắt (P).

Gọi A là giao điểm của d với (P), toạ độ điểm A(x ; y ; z) thoả mãn hệ

\(\left\{ \matrix{  x = 12 + 4t \hfill \cr  y = 9 + 3t \hfill \cr  z = 1 + t \hfill \cr  3x + 5y - z - 2 = 0 \hfill \cr}  \right. \)\(\Rightarrow t =  - 3 \Rightarrow A = \left( {0;0; - 2} \right)\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta có :

               \(\sin \alpha  = {{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}} = {{26} \over {\sqrt {26} .\sqrt {35} }} = {{\sqrt {26} } \over {\sqrt {35} }}.\)

b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với d nên có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của d. Do đó, \(\left( {P'} \right)\) có phương trình :

\(4(x - {\rm{ }}1){\rm{ }} + {\rm{ }}3(y - {\rm{ }}2){\rm{ }} + {\rm{ }}1(z{\rm{ }} + 1){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \(4x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

c) Hình chiếu \(d'\) của \(d\) trên mp(P) là giao tuyến của mp(P) và mp\(\left( Q \right)\), với \(\left( Q \right)\) đi qua d và vuông góc với (P). Như vậy, \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến là :

\(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {\left| {\matrix{   3 & 1  \cr   5 & { - 1}  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   1 & 4  \cr   { - 1} & 3  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   4 & 3  \cr   3 & 5  \cr  } } \right|} \right) \)

       \(= \left( { - 8;7;11} \right).\)

 Phương trình tổng quát của mp\(\left( Q \right)\) là

\( - 8\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}12} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}7\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}9} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}11\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

hay \(8x{\rm{ }} - {\rm{ }}7y - 11{\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}22{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Vậy hình chiếu \(d'\)  của \(d\) trên mp\(\left( P \right)\) là giao tuyến của hai mặt phẳng :

\(3x + 5y{\rm{ }} - {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = 0\) và \(8x{\rm{ }} - {\rm{ 7}}y{\rm{ }} - 1{\rm{1}}z{\rm{ }} - {\rm{ }}22{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Đường thẳng d' có phương trình tham số là

                     \(\left\{ \matrix{  x = 62t \hfill \cr  y =  - 25t \hfill \cr  z =  - 2 + 61t. \hfill \cr}  \right.\)

d) (P) là mặt phẳng trung trực của BB' khi và chỉ khi \(BB' \bot (P)\) và giao điểm của BB' với (P) là trung điểm của đoạn thẳng BB'.

Ta có phương trình đường thẳng BB' là

                    \(\left\{ \matrix{  x = 1 + 3t \hfill \cr  y = 5t \hfill \cr  z =  - 1 - t. \hfill \cr}  \right.\)

Gọi H là giao điểm của BB' với (P) thì toạ độ (x ; ỵ ; z) của H thoả mãn hệ :

\(\left\{ \matrix{  x = {\rm{ }}1{\rm{ }} + 3t \hfill \cr  {\rm{ }}y = {\rm{ }}5t{\rm{ }} \hfill \cr  z = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} - t \hfill \cr  3x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y - z - 2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Rightarrow t =  - {2 \over {35}} \Rightarrow H = \left( {{{29} \over {35}}; - {2 \over 7}; - {{33} \over {35}}} \right).\)

H là trung điểm của BB' nên

\(\left\{ \matrix{  {x_{B'}} = 2{x_H} - {x_B} = {{23} \over {35}} \hfill \cr  {y_{B'}} = 2{y_H} - {y_B} =  - {4 \over 7} \hfill \cr  {z_{B'}} = 2{z_H} - {z_B} =  - {{31} \over {35}} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow B' = \left( {{{23} \over {35}}; - {4 \over 7}; - {{31} \over {35}}} \right)\)

e) Đường thẳng \(\Delta \) phải tìm nằm trong mp(P), đồng thời nằm trong mặt phẳng (R) đi qua \(A\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right)\) và vuông góc với d.

Mặt phẳng (R) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_R}}  = {\rm{ }}\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right)\) nên có phương trình

                          \(4x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Vậy \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(3x + 5y{\rm{ }} - {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}2 = {\rm{ }}0\) và\(\;4x + {\rm{ }}3y{\rm{  +  }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0;\) suy ra \(\Delta \) có phương trình tham số là

                \(\left\{ {\matrix{   {{x } = {\rm{ 8}}t} \hfill  \cr   \matrix{  y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 7t{\rm{ }} \hfill \cr  z{\rm{ }} =  - 2 - 11t. \hfill \cr}  \hfill  \cr  } } \right.\)

Sachbaitap.com