Câu 1.13 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số \(f(x) = 2\sin x + \tan x - 3x\)

a) Chứng minh rằng hàm số  đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

b) Chứng minh rằng

     \(2\sin x + \tan x > 3x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)            

Giải

a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) , ta có

\(f'(x) = 2\cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 3\)

           \( = {{2{{\cos }^3}x - 3\cos x + 1} \over {{{\cos }^2}x}}\)

           \( = {{{{(1 - cosx)}^2}(2\cos x + 1)} \over {{{\cos }^2}x}} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Do đó hàm số f đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

b) Từ a) suy ra \(f(x) > f(0) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\), tức là ta có bất đẳng thức cần chứng minh.

Sachbaitap.com