Câu 4.53 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Viết dạng phương trình lượng giác của các số phức

a) \({{1 - \left( {{\rm{cos}}\varphi  + isin\varphi } \right)} \over {1 + {\rm{cos}}\varphi  + isin\varphi }}\)                                                         

b) \(\left[ {1 - \left( {{\rm{cos}}\varphi  + isin\varphi } \right)} \right]\left( {1 + {\rm{cos}}\varphi  + isin\varphi } \right)\)

Giải

a) Do \({{1 - \left( {{\rm{cos}}\varphi  + isin\varphi } \right)} \over {1 + {\rm{cos}}\varphi  + isin\varphi }} =  - i\tan {\varphi  \over 2}\) nên:

Khi \(\tan {\varphi  \over 2} = 0\), số đó không có dạng lượng giác xác định.

Khi  \(\tan {\varphi  \over 2} > 0\), dạng lượng giác của nó là

\(\left( {  \tan {\varphi  \over 2}} \right)\left( {{\rm{cos}}{-\pi  \over 2} + isin{-\pi  \over 2}} \right)\)

Khi  \(\tan {\varphi  \over 2} <0\), dạng lượng giác của nó là

\(\left( { - \tan {\varphi  \over 2}} \right)\left( {{\rm{cos}}{\pi  \over 2} + isin{\pi  \over 2}} \right)\)

b) \(\left( {1 - {\rm{cos}}\varphi  - isin\varphi } \right)\left( {1 + {\rm{cos}}\varphi  + isin\varphi } \right) \)

\(= 2\sin \varphi \left( {\sin \varphi  - i\cos \varphi } \right)\)

\( = 2\sin \varphi \left[ {{\rm{cos}}\left( {\varphi  - {\pi  \over 2}} \right) + isin\left( {\varphi  - {\pi  \over 2}} \right)} \right]\)

Khi \(\sin \varphi  = 0,\) nó không có dạng lượng giác xác định

Khi \(\sin \varphi  > 0,\) dạng trên là dạng lượng giác của nó

Khi \(\sin \varphi  < 0,\) dạng lượng giác của nó là

\(\left( { - 2\sin \varphi } \right)\left[ {{\rm{cos}}\left( {\varphi  + {\pi  \over 2}} \right) + isin\left( {\varphi  + {\pi  \over 2}} \right)} \right]\)

Sachbaitap.com