Loigiaihay.com 2024

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 5.52 trang 187 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu

Cho hàm số

Cho hàm số

        \(f\left( x \right) = x + {{{x^2}} \over 2} + {{{x^3}} \over 3} + ... + {{{x^{n + 1}}} \over {n + 1}}\,\,\left( {n \in N} \right)\)

Tìm

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f'\left( x \right)\)                          b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f'\left( x \right)\)               

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {{1 \over 2}} \right)\)                      d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( 3 \right)\)

Giải

Ta có

                 \(f'\left( x \right) = 1 + x + {x^2} + ... + {x^n}\)

Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân cới số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = x \ne 1\) ta được:

                        \(f'\left( x \right) = {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}}\)

Từ đó suy ra

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + x + {x^2} + ... + {x^n}} \right) = n + 1\)                     

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}} = {{1 - {2^{n + 1}}} \over {1 - 2}} = {2^{n + 1}} - 1\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( {{1 \over 2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{1 - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n}} \over {1 - {1 \over 2}}} = 2\)(vì\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n + 1}} = 0\))

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{1 - {3^{n + 1}}} \over {1 - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over 2}\left( {{3^{n + 1}} - 1} \right) =  + \infty \)

(vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n + 1}} = 0\) suy ra\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {3^{n + 1}} =  + \infty \))

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Bài viết liên quan