Loigiaihay.com 2019

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 88 trang 172 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Bình chọn:
4.6 trên 5 phiếu

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H).

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H).

a)      Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b)      Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi.

c)      Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi.

Giải:

a) Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

− MA là tia phân cách của góc HMC

Suy ra: \(\widehat {CMA} = \widehat {HMA}\) hay \(\widehat {CMH} = 2\widehat {HMA}\)

− MB là tia phân giác của góc HMD

Suy ra: \(\widehat {HMB} = \widehat {DMB}\) hay \(\widehat {DMH} = 2\widehat {HMB}\)

Tam giác ABM nội tiếp đường tròn (O)  có AB là đường kính nên vuông tại M

Suy ra: \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HMA} + \widehat {HMB} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {CMH} + \widehat {HMD} = 2\widehat {HMA} + 2\widehat {HMB}\)

\(= 2 (\widehat {HMA} + \widehat {HMB}) = 2.90^\circ  = 180^\circ \)

Vậy C, M, D thẳng hàng.

b) Trong đường tròn (M ; MH), theo (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = AH và BD = BH

Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH.

Suy ra: AC + BD = AH + BH = AB không đổi

c) Ta có: AC ⊥ CD và BD ⊥ CD ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: AC // BD hay tứ giác ABDC là hình thang

Mà OA = OB ( bán kính (O))

Và AC = MD ( bán kính (M))

Suy ra OM là đường trung bình của hình  thang ABCD

Khi đó OM // AC. Suy ra: OM ⊥ CD hay \(\widehat {OMI} = 90^\circ \)

Tam giác OMI vuông tại M có MH ⊥ OI.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OM2 = OH.OI

Suy ra: OH.OI = R2 không đổi.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 9 - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Bài viết liên quan