Đề 3 trang 67 Sách bài tập (SBT) Hình học 12

ĐỀ 3 (45 phút)

Câu 1 (5 điểm) trang 67 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) tâm O, AB = 5a , AC = 4a , BC = 3a , khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 2a. Tính thể tích mặt cầu (S) theo a.

Hướng dẫn làm bài

Tam giác ABC có AB² = AC² + BC² nên nó vuông tại C. Mặt phẳng (ABC) cắt (S) theo đường tròn đường kính AB. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó  OI = 2a.

Suy ra $OB = \sqrt {{{({{5a} \over 2})}^2} + 4{a^2}}  = {{\sqrt {41} } \over 2}a$

Vậy ${V_{(S)}} = {4 \over 3}\pi {({{a\sqrt {41} } \over 2})^3} = {{41\sqrt {41} } \over 6}\pi {a^3}$

Câu 2 (5 điểm) trang 67 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình trụ (H) có chiều cao bằng h, bán kính đường tròn đáy bằng R, O và O’ là tâm của hai đáy. Gọi AB là đường kính thuộc đường tròn đáy (O) , CD là đường kính thuộc đường tròn đáy (O’), góc giữa AB và CD bằng $\alpha (0 < \alpha  \le {90^0})$. Tính tỉ số thể tích giữa khối tứ diện ABCD và khối trụ (H). Xác định $\alpha$ để tỉ số đó là lớn nhất.

Hướng dẫn làm bài

Thể tích khối trụ (H) là ${V_{(H)}} = \pi {R^2}h$ , thể tích khối tứ diện ABCD là:

${V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB.CD.\sin \alpha .h = {2 \over 3}{R^2}h\sin \alpha$

Suy ra: ${{{V_{ABCD}}} \over {{V_{(H)}}}} = {{2\sin \alpha } \over {3\pi }} \le {2 \over {3\pi }}$

Tỉ số đó là lớn nhất bằng  ${2 \over {3\pi }}$ khi $\alpha  = {90^0}$

Sachbaitap.com