Giải SBT Toán 10 trang 18, 19 Chân trời sáng tạo tập 2

Bài 1 trang 18 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {4{x^2} + 15x - 19}  = \sqrt {5{x^2} + 23x - 14} \)    

b) \(\sqrt {8{x^2} + 10x - 3}  = \sqrt {29{x^2} - 7x - 1} \)

c) \(\sqrt { - 4{x^2} - 5x + 8}  = \sqrt {2{x^2} + 2x - 2} \)

d) \(\sqrt {5{x^2} + 25x + 13}  = \sqrt {20{x^2} - 9x + 28} \)

e) \(\sqrt { - {x^2} - 2x + 7}  = \sqrt { - x - 13} \)

Lời giải:

a) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

                \(\begin{array}{l}4{x^2} + 15x - 19 = 5{x^2} + 23x - 14\\ \Rightarrow {x^2} + 8x + 5 = 0\end{array}\)

                \( \Rightarrow x =  - 4 - \sqrt {11} \) hoặc \(x =  - 4 + \sqrt {11} \)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có \(x =  - 4 - \sqrt {11} \) thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - 4 - \sqrt {11} \)

b) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

                \(\begin{array}{l}8{x^2} + 10x - 3 = 29{x^2} - 7x - 1\\ \Rightarrow 21{x^2} - 17x + 2 = 0\end{array}\)

                \( \Rightarrow x = \frac{1}{7}\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có \(x = \frac{2}{3}\) thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{2}{3}\)

c) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

                \(\begin{array}{l} - 4{x^2} - 5x + 8 = 2{x^2} + 2x - 2\\ \Rightarrow 6{x^2} + 7x - 10 = 0\end{array}\)

                \( \Rightarrow x =  - 2\) hoặc \(x = \frac{5}{6}\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - 2\) và \(x = \frac{5}{6}\)

d) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

                \(\begin{array}{l}5{x^2} + 25x + 13 = 20{x^2} - 9x + 28\\ \Rightarrow 15{x^2} - 34x + 15 = 0\end{array}\)

                \( \Rightarrow x = \frac{3}{5}\) hoặc \(x = \frac{5}{3}\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{3}{5}\) và \(x = \frac{5}{3}\)

e) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

                \(\begin{array}{l} - {x^2} - 2x + 7 =  - x - 13\\ \Rightarrow {x^2} + x - 20 = 0\end{array}\)

                \( \Rightarrow x =  - 5\) hoặc \(x = 4\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 2 trang 18 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình sau:

a) \(2\sqrt {{x^2} + 4x - 7}  = \sqrt { - 4{x^2} + 38x - 43} \)

b) \(\sqrt {6{x^2} + 7x - 1}  - \sqrt { - 29{x^2} - 41x + 10}  = 0\)

Lời giải:

a) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

          \(\begin{array}{l}4\left( {{x^2} + 4x - 7} \right) =  - 4{x^2} + 38x - 43\\ \Rightarrow 8{x^2} - 22x + 15 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x = \frac{3}{2}\) _hoặc \(x = \frac{5}{4}\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có \(x = \frac{3}{2}\) thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{3}{2}\)

_{b) Chuyển các dấu căn về hai vế khác nhau, bình phương hai vế ta được:}

         \(\begin{array}{l}\sqrt {6{x^2} + 7x - 1}  - \sqrt { - 29{x^2} - 41x + 10}  = 0\\ \Rightarrow \sqrt {6{x^2} + 7x - 1}  = \sqrt { - 29{x^2} - 41x + 10} \\ \Rightarrow 6{x^2} + 7x - 1 =  - 29{x^2} - 41x + 10\\ \Rightarrow 35{x^2} + 48x - 11 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x =  - \frac{{11}}{7}\) _hoặc \(x = \frac{1}{5}\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy hai giá trị đều thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - \frac{{11}}{7}\) _và \(x = \frac{1}{5}\)

Bài 3 trang 18 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt { - {x^2} + 7x + 13}  = 5\)   

b) \(\sqrt { - {x^2} + 3x + 7}  = 3\)

c) \(\sqrt {69{x^2} - 52x + 4}  =  - 6x + 4\)

d) \(\sqrt { - {x^2} - 4x + 22}  =  - 2x + 5\)

e) \(\sqrt {4x + 30}  = 2x + 3\)

g) \(\sqrt { - 57x + 139}  = 3x - 11\)

Lời giải:

a) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

          \(\begin{array}{l} - {x^2} + 7x + 13 = 25\\ \Rightarrow  - {x^2} + 7x - 12 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x = 3\) _hoặc \(x = 4\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\) _và \(x = 4\)

b) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

          \(\begin{array}{l} - {x^2} + 3x + 7 = 9\\ \Rightarrow  - {x^2} + 3x - 2 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x = 1\) _hoặc \(x = 2\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\) _hoặc \(x = 2\)

c) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

          \(\begin{array}{l}69{x^2} - 52x + 4 = 36{x^2} - 48x + 16\\ \Rightarrow 33{x^2} - 4x - 12 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x =  - \frac{6}{{11}}\) _hoặc \(x = \frac{2}{3}\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - \frac{6}{{11}}\) _hoặc \(x = \frac{2}{3}\)

d) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

          \(\begin{array}{l} - {x^2} - 4x + 22 = 4{x^2} - 20x + 25\\ \Rightarrow 5{x^2} - 16x + 3 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x = 3\) _hoặc \(x = \frac{1}{5}\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có \(x = \frac{1}{5}\)  thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{1}{5}\)

e) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

          \(\begin{array}{l}4x + 30 = 4{x^2} + 12x + 9\\ \Rightarrow 4{x^2} + 8x - 21 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x =  - \frac{7}{2}\) _hoặc \(x = \frac{3}{2}\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có \(x = \frac{3}{2}\)  thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{3}{2}\)

g) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

          \(\begin{array}{l} - 57x + 139 = 9{x^2} - 66x + 121\\ \Rightarrow 9{x^2} - 9x - 18 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x =  - 1\) _hoặc \(x = 2\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 4 trang 18 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt { - 7{x^2} - 60x + 27}  + 3\left( {x - 1} \right) = 0\)     

b) \(\sqrt {3{x^2} - 9x - 5}  + 2x = 5\)

c) \(\sqrt { - 2x + 8}  - x + 6 = x\)

Lời giải:

a) _Xét phương trình:

          \(\begin{array}{l}\sqrt { - 7{x^2} - 60x + 27}  + 3\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt { - 7{x^2} - 60x + 27}  =  - 3\left( {x - 1} \right)\\ \Rightarrow  - 7{x^2} - 60x + 27 = 9{x^2} - 18x + 9\\ \Rightarrow 16{x^2} + 42x - 18 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x =  - 3\) _hoặc \(x = \frac{3}{8}\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - 3\) _và\(x = \frac{3}{8}\)

_{b) Xét} phương trình:

          \(\begin{array}{l}\sqrt {3{x^2} - 9x - 5}  + 2x = 5\\ \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} - 9x - 5}  = 5 - 2x\\ \Rightarrow 3{x^2} - 9x - 5 = 4{x^2} - 20x + 25\\ \Rightarrow {x^2} - 11x + 30 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x = 5\) _hoặc \(x = 6\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

_{c) Xét} phương trình:

          \(\begin{array}{l}\sqrt { - 2x + 8}  - x + 6 = x\\ \Leftrightarrow \sqrt { - 2x + 8}  = 2x - 6\\ \Rightarrow  - 2x + 8 = 4{x^2} - 24x + 36\\ \Rightarrow 4{x^2} - 22x + 28 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x = 2\) _hoặc \(x = \frac{7}{2}\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta chỉ có \(x = \frac{7}{2}\) thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{7}{2}\)

Bài 5 trang 19 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Khoảng cách từ nhà An ở vị trí N đến cột điện C là 10 m. Từ nhà, An đi x mét theo phương tạo với NC một góc \(60^\circ \) đến vị trí A sau đó đi tiếp 3 m đến vị trí B như hình 1.

a)  Biểu diễn khoảng cách AC và BC theo x 

b) Tìm x để \(AC = \frac{8}{9}BC\)

c) Tìm x để khoảng cách \(BC = 2AN\)

Lời giải:

_{a) Áp dụng đính lí côsin trong tam giác ANC ta có:}

\(\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{N^2} + N{C^2} - 2AN.NC.\cos \widehat N}  = \sqrt {{x^2} + {{10}^2} - 2x.10.\cos 60^\circ } \\ = \sqrt {{x^2} - 10x + 100} \end{array}\)

_{Áp dụng đính lí côsin trong tam giác BNC ta có:}

\(\begin{array}{l}BC = \sqrt {B{N^2} + N{C^2} - 2BN.NC.\cos \widehat N}  = \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{10}^2} - 2\left( {x + 3} \right).10.\cos 60^\circ } \\ = \sqrt {{x^2} - 4x + 79} \end{array}\)

_{b) Ta có:} \(AC = \frac{8}{9}BC\) _hay

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 10x + 100}  = \frac{8}{9}\sqrt {{x^2} - 4x + 79} \\ \Rightarrow {x^2} - 10x + 100 = \frac{{64}}{{81}}\left( {{x^2} - 4x + 79} \right)\\ \Rightarrow \frac{{17}}{{81}}{x^2} - \frac{{554}}{{81}}x + \frac{{3044}}{{81}} = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x \simeq 7\) _hoặc \(x \simeq 25,6\)

_{Thay hai giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn}

_{Vậy khi} \(x \simeq 7\) _hoặc \(x \simeq 25,6\) _thì \(AC = \frac{8}{9}BC\)

_{c) Yêu cầu bài toán tương đương}

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 4x + 79}  = 2x\\ \Rightarrow {x^2} - 4x + 79 = 4{x^2}\\ \Rightarrow 3{x^2} + 4x - 79 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 2 - \sqrt {241} }}{3}\) _hoặc \(x = \frac{{ - 2 + \sqrt {241} }}{3}\)

_{Mà vì} \(x \ge 0\) _nên  \(x = \frac{{ - 2 + \sqrt {241} }}{3}\)

_{Vậy khi} \(x = \frac{{ - 2 + \sqrt {241} }}{3}\) _thì \(BC = 2AN\)

Sachbaitap.com