Giải SBT Toán 10 trang 22, 23, 24, 25, 26, 27 Kết nối tri thức tập 2

Bài 6.33 trang 22 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Thu nhập bình quân theo đầu người (GDP) của Việt Nam (tính theo USD) trong vòng 10 năm, từ năm 2009 đến năm 2018 được cho bởi bảng sau (dựa theo số liệu của Tổng cục Thống kê):

Bảng này xác định một hàm số chỉ sự phụ thuộc của GDP (kí hiệu là y) vào thời gian x (tính bằng năm). Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. Giá trị của hàm số tại x = 2018 là 2 587

B. Tập xác định của hàm số có 10 phần tử

C. Tập giá trị của hàm số có 10 phẩn tử

D. Giá trị của hàm số tại x = 2587 là 2018

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định là các giá trị x, tập giá trị là các giá trị y có trong bảng

Bước 2: Xác định các giá trị x, y tương ứng theo từng cột trong bảng

Bước 2: Xét tính đúng/ sai của từng đáp án dựa vào bảng số liệu

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng:

Ta thấy: x là thời gian tính bằng năm và không hề tồn tại giá trị x = 2 587 hay năm 2 587 ở trong bảng. Vậy đáp án D sai.

Bài 6.34 trang 22 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Các đường dưới đây, đường nào không là đồ thị hàm số?

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hình B:

Ta thấy, trong hình vẽ, với một giá trị của x ta có thể xác định được hai giá trị của y tương ứng nên đây không phải đồ thị hàm số.

Bài 6.35 trang 22 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt x \) là:

A. \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}0\} \) 

B. \(\mathbb{R}\) 

C. \(\left[ {0; + \infty } \right)\)   

D. \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Lời giải:

Ta có: \(\sqrt x \) xác định khi và chỉ khi x ≥ 0

Vậy TXĐ của hàm số là \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \) Chọn C

Bài 6.36 trang 23 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Hàm số \(y = \frac{1}{x}\) có:

A. Tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}0\} \) và tập giá trị là \(\mathbb{R}\)

B. Tập xác định và tập giá trị cùng là \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}0\} \)

C. Tập xác định là \(\mathbb{R}\)và tập giá trị là \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}0\} \)

D. Tập xác định và tập giá trị cùng là \(\mathbb{R}\)

Lời giải:

Điều kiện xác định của \(\frac{1}{x}\) là x ≠ 0

Ta có:  với x ≠ 0 thì \(\frac{1}{x}\) ≠ 0

Vậy TXĐ và TGT của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}0\} \)

\( \Rightarrow \) Chọn B

Bài 6.37 trang 23 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Với những giá trị nào của m thì hàm số \(f(x) = (m + 1)x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

A. m > -1

B. m = 1   

C. m < 0   

D. m = 0

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số f(x) = (m + 1)x + 2 đồng biến trên ℝ ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > –1.

Bài 6.38 trang 23 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

A. \(y = \left| {\frac{1}{2}x} \right|\)

B. \(y = \left| {3 - x} \right|\)

C. \(y = \left| x \right|\)   

D. \(y = \left| {2x} \right|\)

Lời giải:

Lấy các điểm (0 ; 0), (-2 ; 1), (2 ; 1) thuộc đồ thị hàm số.

Ta có: các điểm (0 ; 0), (-2 ; 1), (2 ; 1) đều thuộc hàm số \(y = \left| {\frac{1}{2}x} \right|\)

\( \Rightarrow \) Chọn A

điểm (0 ; 0) không thuộc \(y = \left| {3 - x} \right|\) => Loại B.

điểm (2 ; 1) không thuộc \(y = \left| x \right|\)   => Loại C.

điểm (2 ; 1) không thuộc \(y = \left| 2x \right|\)   => Loại D.

Bài 6.39 trang 23 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trục đối xứng của Parabol \((P):y = 2{x^2} + 6x + 3\) là:

A. y = -3       

B. \(y =  - \frac{3}{2}\)   

C. x = -3 

D. \(x =  - \frac{3}{2}\)

Lời giải:

Parabol \((P):y = 2{x^2} + 6x + 3\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x =  - \frac{6}{{2.2}} \Leftrightarrow x =  - \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow \) Chọn D

Bài 6.40 trang 23 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Parabol \(y =  - 4x - 2{x^2}\) có đỉnh là:

A. I (-1 ; 1)                       B. I (-1 ; 2)                  C. I (1 ; 1)                   D. I (2 ; 0)

Phương pháp:

đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) có đỉnh là điểm \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Lời giải:

Ta có: ∆ = (-4)2 +4.(-2).0 = 16

Parabol \(y =  - 4x - 2{x^2}\) có đỉnh là \(I\left( { - 1;2} \right)\)

\( \Rightarrow \) Chọn B

Bài 6.41 trang 23 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho hàm số \(y = {x^2} - 2x + 3\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) 

B. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\)

C. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) 

D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\)

Lời giải:

Hàm số \(y = {x^2} - 2x + 3\) có a = 1 > 0 nên nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \) Chọn D

Bài 6.42 trang 24 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Đường Parabol trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. \(y = {x^2} + 2x - 3\)

B. \(y =  - {x^2} - 2x + 3\)

C. \(y =  - {x^2} + 2x - 3\) 

D. \(y = {x^2} - 2x - 3\)

Lời giải:

Đường Parabol có bề lõm quay lên trên nên a > 0 => Loại B, C

Ta có: \( - \frac{b}{{2a}} =  - 1 < 0\) mà a > 0 nên b > 0 => Loại D

\( \Rightarrow \) Chọn A

Bài 6.43 trang 24 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị là đường parabol dưới đây. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. a < 0, b < 0, c < 0                                       B. a < 0, b < 0, c > 0  

C. a < 0, b > 0, c < 0                                       D. a < 0, b > 0, c > 0  

Lời giải:

Parabol có bề lõm xuống dưới nên hệ số a < 0

Từ đồ thị suy ra tung độ giao điểm của đồ thị với trục tung có giá trị dương nên c > 0 => Loại A, C

Hoành độ đỉnh parabol có giá trị dương nên \( - \frac{b}{{2a}}\) > 0 mà a < 0. Do đó b > 0

\( \Rightarrow \) Chọn D

Bài 6.44 trang 24 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Điều kiện cần và đủ của tham số m để parabol \((P):y = {x^2} - 2x + m - 1\) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung là:

A. m < 1                      B. m < 2                      C. m > 2                      D. m > 1

Phương pháp:

Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) cắt Ox tại 2 điểm nằm về 2 phía trục tung khi và chỉ khi PT \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm trái dấu

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c. Tìm điều kiện để PT \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) có 2 nghiệm trái dấu (ac < 0)

Bước 2: Giải BPT ac < 0 (BPT bậc nhất ẩn m) rồi kết luận.

Lời giải:

Ta có: Đồ thị (P) cắt trục Ox tại 2 điểm nằm về 2 phía trục tung khi và chỉ khi PT \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) có 2 nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < 1\)

\( \Rightarrow \) Chọn A

Bài 6.45 trang 24 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bảng xét dấu dưới đây là của tam thức bậc hai nào?

A. \(f(x) =  - {x^2} + x + 6\)

B. \(f(x) = {x^2} - x - 6\)

C. \(f(x) =  - {x^2} + 5x - 6\) 

D. \(f(x) = {x^2} - 5x + 6\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét bảng xét dấu:

Trên khoảng (–2; 3) thì f(x) > 0 nên a < 0, các hàm số f(x) = –x² + x + 6 ; f(x) = –x² + 5x – 6 thỏa mãn.

Khi x = –2 thì f(x) = 0 nên chỉ có hàm số f(x) = –x² + x + 6 thỏa mãn.

Bài 6.46 trang 24 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bảng xét dấu nào sau đây là bảng xét dấu của tam thức \(f(x) = {x^2} + 12x + 36\)?

Lời giải:

Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} + 12x + 36\) có a = 1 > 0, ∆’ = 0 và có nghiệm kép x = -6 nên \({x^2} + 12x + 36\) > 0 \(\forall x \ne  - 6\)

\( \Rightarrow \) Chọn B

Bài 6.47 trang 25 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 4x + 3 < 0\) là:

A. \((1;3)\)

B. \(( - \infty ;1) \cup {\rm{[}}3; + \infty )\)

C. \({\rm{[}}1;3]\)

D. \(( - \infty ;1] \cup {\rm{[}}4; + \infty )\)

Lời giải:

Tam thức bậc hai \({x^2} - 4x + 3\) có a = 1 > 0, ∆’ = 1 > 0 và tam thức \({x^2} - 4x + 3\) có 2 nghiệm là \({x_1} = 1,{x_2} = 3\) nên \({x^2} - 4x + 3 < 0\) \(\forall x \in (1;3)\)

\( \Rightarrow \) Chọn A

Bài 6.48 trang 25 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Các giá trị của tham số m làm cho biểu thức \(f(x) = {x^2} + 4x + m - 5\) luôn dương là:

A. m ≥ 9   

B. m > 9     

C. Không có m   

D. m < 9

Lời giải:

Ta có: a=1>0; f(x) > 0 \(\forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi ∆’ < 0

Mà \(∆’=2^2-1.(m-5)=9-m\)

\( \Leftrightarrow 9 - m < 0 \Leftrightarrow m > 9\)

\( \Rightarrow \) Chọn B

Bài 6.49 trang 25 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Phương trình \((m + 2){x^2} - 3x + 2m - 3 = 0\) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

A. \(m <  - 2\) hoặc \(m > \frac{3}{2}\)   

B. \(m > \frac{3}{2}\)

C. \( - 2 < m < \frac{3}{2}\) 

D. \(m < 2\)

Lời giải:

PT \((m + 2){x^2} - 3x + 2m - 3 = 0\) (1) là PT bậc hai khi và chỉ khi \(m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 2\)

PT (1) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \((m + 2)(2m - 3) < 0 \Leftrightarrow 2{m^2} + m - 6 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < \frac{3}{2}\)

Kết hợp các điều kiện, với \( - 2 < m < \frac{3}{2}\) thì PT (1) có 2 nghiệm trái dấu

\( \Rightarrow \) Chọn C

Bài 6.50 trang 25 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bất phương trình \(m{x^2} - (2m - 1)x + m + 1 < 0\) (1) vô nghiệm khi và chỉ khi

A. \(m \le \frac{1}{8}\)

B. \(m > \frac{1}{8}\)   

C. \(m < \frac{1}{8}\)   

D. \(m \ge \frac{1}{8}\)

Lời giải:

+) Với m = 0, BPT (1) có dạng \(x + 1 < 0\) \( \Leftrightarrow x <  - 1\)

Suy ra BPT (1) có tập nghiệm \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) nên m = 0 không thỏa mãn

+) Với m ≠ 0, BPT (1) là BPT bậc hai ẩn x

Khi đó BPT (1) vô nghiệm khi và chỉ khi \(m{x^2} - (2m - 1)x + m + 1 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow m > 0\) và ∆ ≤ 0

Xét ∆ ≤ 0 \( \Leftrightarrow {(2m - 1)^2} - 4m(m + 1) \le 0 \Leftrightarrow  - 8m + 1 \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{8}\)

Vậy với \(m \ge \frac{1}{8}\) thì BPT (1) vô nghiệm

\( \Rightarrow \) Chọn D

Bài 6.51 trang 25 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 4x - 2}  = x - 3\) (1) là:

A. 0   

B. 1     

C. 2   

D. 3

Lời giải:

Bình phương 2 vế của PT (1) ta được:

\({x^2} + 4x - 2 = {x^2} - 6x + 9 \Leftrightarrow 10x = 11 \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{{10}}\)

+) Thay x = \(\frac{{11}}{{10}}\) vào vế phải PT (1): \(\frac{{11}}{{10}} - 3 =  - \frac{{19}}{{10}}\) < 0

Vậy PT (1) vô nghiệm

\( \Rightarrow \) Chọn A

Bài 6.52 trang 25 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 9x - 9}  = 3 - x\) (1) là:

A. \(S = {\rm{\{ }}6\} \) 

B. \(S = \emptyset \)   

C. \(S = {\rm{\{ }} - 3\} \)   

D. \(S = {\rm{\{ }} - 3;6\} \)

Lời giải:

Bình phương 2 vế của PT (1) ta được:

\(2{x^2} - 9x - 9 = {x^2} - 6x + 9 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3\) hoặc x = 6

+) Thay x = -3 vào vế phải PT (1): 3 – (-3) = 6 > 0, thỏa mãn

+) Thay x = 6 vào vế phải PT (1): 3 – 6 = -3 < 0

Vậy PT (1) có nghiệm x = -3

 \( \Rightarrow \) Chọn C

Bài 6.53 trang 25 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x + 1}  = \sqrt {{x^2} + 2x - 9} \) (1) là:

A. \(S = {\rm{\{ 2}}\} \)     

B.  \(S = {\rm{\{ }}5\} \) 

C.  \(S = \emptyset \) 

D. \(S = {\rm{\{ 2}};5\} \)

Lời giả:

Bình phương 2 vế của PT (1) ta được:

\(2{x^2} - 5x + 1 = {x^2} + 2x - 9\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc x = 5

+) Thay x = 2 vào PT (1): \(\sqrt {{{2.2}^2} - 5.2 + 1}  = \sqrt {{2^2} + 2.2 - 9}  \Leftrightarrow \sqrt { - 1}  = \sqrt { - 1} \) , vô lí

+) Thay x = 5 vào PT (1): \(\sqrt {{{2.5}^2} - 5.5 + 1}  = \sqrt {{5^2} + 2.5 - 9}  \Leftrightarrow \sqrt {26}  = \sqrt {26} \), thỏa mãn

Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 5 

\( \Rightarrow \) Chọn B

Bài 6.54 trang 25 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \sqrt { - {x^2} + 3x - 2} \)   

b) \(y = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\)

Lời giải:

a) \(y = \sqrt { - {x^2} + 3x - 2} \)

 \(\sqrt { - {x^2} + 3x - 2} \) xác định khi và chỉ khi \( - {x^2} + 3x - 2 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 1 \le x \le 2\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [1;2]

b) \(y = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\)

\(y = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\) xác định khi và chỉ khi \(\sqrt {{x^2} - 1} \) ≠ 0 và \({x^2} - 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\) hoặc x < -1

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = \(( - \infty ; - 1) \cup (1; + \infty )\)

Bài 6.55 trang 26 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho hàm số : \(y = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3, - 2 \le x <  - 1\\\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}, - 1 \le x < 1\\ - \frac{1}{2}x + \frac{9}{2},1 \le x \le 3\end{array} \right.\)

a) Tìm tập xác định của hàm số

b) Vẽ đồ thị hàm số

c) Từ đồ thị vẽ ở ý b) hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số

d) Tìm tập giá trị của hàm số

Lời giải:

a) Ta có: Hàm số xác định khi \({ - 2 \le x <  - 1}\), \({ - 1 \le x < 1}\) và \({1 \le x \le 3}\) hay \(x \in [ - 2; - 1) \cup [ - 1;1) \cup [1;3]\)

=> tập xác định là \([ - 2; - 1) \cup [ - 1;1) \cup [1;3] = [-2 ; 3]\)

b) Đồ thị:

+ Vẽ đường thẳng \(y=2x+3\), giữ lại đường thẳng với \({ - 2 \le x <  - 1}\) và bỏ phần còn lại.

+ Vẽ đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\), giữ lại đường thẳng với \({ - 2 \le x <  - 1}\) và bỏ phần còn lại.

+ Vẽ đường thẳng \(y=-\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}\), giữ lại đường thẳng với \({ 1 \le x \le 3}\) và bỏ phần còn lại.

c) Quan sát từ trái sang phải:

+ Đồ thị hàm số đi lên trên khoảng (-2;-1) và (-1;2)

=> Hàm số đồng biến trên (-2 ; 1)

+ Đồ thị đi xuống trên (1;3) => Hàm số nghịch biến trên (1 ; 3)

d) Quang sát đồ thị,

+ với x thuộc [-2;1) thì giá trị của y thuộc [-1;2)

+ với x thuộc [1;3] thì giá trị của y thuộc [3;4]

=> Tập giá trị của hàm số là \([-1; 2) \cup {[3;4]}\)

Bài 6.56 trang 26 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tìm tập xác định , tập giá trị, khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của chúng.

a) \(y = |x - 1| + |x + 1|\) 

b) \(y = \left\{ \begin{array}{l}x + 1,x <  - 1\\{x^2} - 1,x \ge  - 1\end{array} \right.\)

Lời giải:

a) Ta có bảng xét dấu sau:

Từ bảng xét dấu suy ra:

-  Với x < -1 thì hàm số có dạng \(y = 1 - x - x - 1 \Leftrightarrow y =  - 2x\)      

-  Với -1 ≤ x < 1 thì hàm số có dạng \(y = 1 - x + x + 1 \Leftrightarrow y = 2\)   

-  Với x ≥ 1 thì hàm số có dạng \(y = x - 1 + x + 1 \Leftrightarrow y = 2x\)

Khi đó: \(y = |x - 1| + |x + 1| = \left\{ \begin{array}{l} - 2x,x <  - 1\\2, - 1 \le x < 1\\2x,x \ge 1\end{array} \right.\)

Ta có đồ thị:

Hàm số \(y = |x - 1| + |x + 1|\) có:

+ Tập xác định là \(\mathbb{R}\) 

+ Tập giá trị là \({\rm{[}}2; + \infty )\)

+ Hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\), không đổi (hàm hằng) trên (-1 ; 1) và đồng biến trên \((1; + \infty )\)

b) \(y = \left\{ \begin{array}{l}x + 1,x <  - 1\\{x^2} - 1,x \ge  - 1\end{array} \right.\)

Ta có đồ thị:

Hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}x + 1,x <  - 1\\{x^2} - 1,x \ge  - 1\end{array} \right.\) có:

+ Tập xác định là \(\mathbb{R}\)                                         

+ Tập giá trị là \(\mathbb{R}\)

+ Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ; - 1)\) và \((0; + \infty )\); nghịch biến trên (-1 ; 0)

Bài 6.57 trang 26 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\), hãy xác định dấu của các hệ số a, b, c trong mỗi trường hợp dưới đây

Lời giải:

a) Parabol có bề lõm quay xuống dưới nên hệ số a < 0

Hoành độ đỉnh parabol có giá trị âm nên \( - \frac{b}{{2a}}\) < 0 mà a < 0. Do đó b < 0

Từ đồ thị suy ra tung độ giao điểm của đồ thị với trục tung có giá trị dương nên c > 0

Vậy a < 0, b < 0, c > 0

b) Parabol có bề lõm quay lên trên nên hệ số a > 0

Hoành độ đỉnh parabol có giá trị dương nên \( - \frac{b}{{2a}}\) > 0 mà a > 0. Do đó b < 0

Từ đồ thị suy ra tung độ giao điểm của đồ thị với trục tung có giá trị dương nên c > 0

Vậy a > 0, b < 0, c > 0

c) Parabol có bề lõm quay lên trên nên hệ số a > 0

Hoành độ đỉnh parabol có giá trị âm nên \( - \frac{b}{{2a}}\) < 0 mà a > 0. Do đó b > 0

Từ đồ thị suy ra tung độ giao điểm của đồ thị với trục tung bằng 0 nên c = 0

Vậy a > 0, b > 0, c = 0

b) Parabol có bề lõm quay xuống dưới nên hệ số a < 0

Hoành độ đỉnh parabol có giá trị dương nên \( - \frac{b}{{2a}}\) > 0 mà a < 0. Do đó b > 0

Từ đồ thị suy ra tung độ giao điểm của đồ thị với trục tung có giá trị âm nên c < 0

Vậy a < 0, b > 0, c < 0

Bài 6.58 trang 26 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mỗi trường hợp dưới đây, hãy vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ rồi xác định tọa độ giao điểm của chúng

a) \(y =  - x + 3\) và \(y =  - {x^2} - 4x + 1\)

b) \(y = 2x - 5\) và \(y = {x^2} - 4x - 1\)

Lời giải:

a) \(y =  - x + 3\) và \(y =  - {x^2} - 4x + 1\)

+) Vẽ đồ thị

- Đồ thị hàm số \(y =  - x + 3\) là đường thẳng đi qua 2 điểm (0;3) và (3;0)

- Đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} - 4x + 1\) là đường parabol có a = -1 < 0 nên có bề lõm quay xuống dưới.

Đỉnh \(I( - 2;5)\), trục đối xứng x = -2. Giao điểm của parabol với trục Oy là điểm (0 ; 1) và cắt trục Ox tại 2 điểm có hoành độ \(x =  - 2 - \sqrt 5 \) và \(x =  - 2 + \sqrt 5 \)

+) Tìm giao điểm

Xét phương trình hoành độ: \( - x + 3 =  - {x^2} - 4x + 1 \Leftrightarrow  - {x^2} - 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc x = -2

Với x = -1 thì y = 4 ;    với x = -2 thì y = 5

Vậy giao điểm hai đồ thị là 2 điểm (-1 ; 4) và (-2 ; 5)

b) \(y = 2x - 5\) và \(y = {x^2} - 4x - 1\)

+) Vẽ đồ thị

- Đồ thị hàm số \(y = 2x - 5\) là đường thẳng đi qua 2 điểm (0 ; -5) và \(\left( {\frac{5}{2};0} \right)\)

- Đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x - 1\) là đường parabol có a = 1 > 0 nên có bề lõm quay lên trên.

Đỉnh \(I(2; - 5)\), trục đối xứng x = 2. Giao điểm của parabol với trục Oy là điểm (0 ; -1) và cắt trục Ox tại 2 điểm có hoành độ \(x = 2 - \sqrt 5 \) và \(x = 2 + \sqrt 5 \)

+) Tìm giao điểm

Xét phương trình hoành độ: \(2x - 5 = {x^2} - 4x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 3 - \sqrt 5 \) hoặc x = \(3 + \sqrt 5 \)

Với x = \(3 - \sqrt 5 \) thì y = \(1 - 2\sqrt 5 \) ;    với x = \(3 + \sqrt 5 \) thì y = \(1 + 2\sqrt 5 \)

Vậy giao điểm hai đồ thị là 2 điểm (\(3 - \sqrt 5 \) ; \(1 - 2\sqrt 5 \)) và (\(3 + \sqrt 5 \) ; \(1 + 2\sqrt 5 \))

Bài 6.59 trang 26 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Vẽ đồ thị mỗi hàm số sau, từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình tương ứng

a) \(y = {x^2} - 3x + 2\) và bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 \ge 0\)

b) \(y = {x^2} - x - 6\) và bất phương trình \({x^2} - x - 6 < 0\)

Lời giải:

a) \(y = {x^2} - 3x + 2\) và bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 \ge 0\)

+) Vẽ đồ thị

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol có bề lõm quay lên trên. Đỉnh \(I\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\). Trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\)

Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0 ; 2) và đồ thị cắt trục Ox tại 2 điểm có hoành độ là x = 1 và x = 2

+) Giải BPT \({x^2} - 3x + 2 \ge 0\)

Từ đồ thị ta thấy với x ≤ 1 hoặc x ≥ 2 thì đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) nằm phía trên trục hoành.

Vậy tập nghiệm của BPT \({x^2} - 3x + 2 \ge 0\) là \(( - \infty ;1] \cup {\rm{[}}2; + \infty )\)

b) \(y = {x^2} - x - 6\) và bất phương trình \({x^2} - x - 6 < 0\)

+) Vẽ đồ thị

Ta có: a = 1 > 0 nên parabol có bề lõm quay lên trên. Đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{{25}}{4}} \right)\). Trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\)

Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0 ; -6) và đồ thị cắt trục Ox tại 2 điểm có hoành độ là x = 3 và x = -2

+) Giải BPT \({x^2} - x - 6 < 0\)

Từ đồ thị ta thấy với -2 < x < 3 thì đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x - 6\) nằm phía dưới trục hoành.

Vậy tập nghiệm của BPT \({x^2} - x - 6 < 0\) là \(( - 2;3)\)

Bài 6.60 trang 26 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Tìm các giá trị của tham số m để:

a)      Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} - 2mx + 5} }}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\)

b)      Tam thức bậc hai \(y =  - {x^2} + mx - 1\) có dấu không phụ thuộc vào x

c)      Hàm số \(y = \sqrt { - 2{x^2} + mx - m - 6} \) có tập xác định chỉ gồm một phần tử

Lời giải:

a) Xét hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} - 2mx + 5} }}\)

+) Với m = 0 thì hàm số có dạng \(y = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Do đó m = 0 thỏa mãn
+) Với m ≠ 0, hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} - 2mx + 5} }}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m{x^2} - 2m{\rm{x}} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) 

Ta có: \(m{x^2} - 2m{\rm{x}} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow m > 0\) và \(\Delta ' = {m^2} - 5m < 0\) \( \Leftrightarrow m > 0\) và \(0 < m < 5\) \( \Leftrightarrow 0 < m < 5\)

Kết hợp các điều kiện, với \(m \in {\rm{[}}0;5)\) thì hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} - 2mx + 5} }}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\)

b) Tam thức bậc hai \(y =  - {x^2} + mx - 1\) có a = -1 < 0

Khi đó\(y =  - {x^2} + mx - 1\) có dấu không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi \(y =  - {x^2} + mx - 1\) < 0 \(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \)\(\Delta  = {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < 2\)

Vậy với \(m \in ( - 2;2)\) thì Tam thức bậc hai \(y =  - {x^2} + mx - 1\) có dấu không phụ thuộc vào x

c) Hàm số  \(y = \sqrt { - 2{x^2} + mx - m - 6} \)có tập xác định chỉ gồm một phần tử khi và chỉ khi

\( - 2{x^2} + mx - m - 6 = 0\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = {m^2} - 8(m + 6) = 0\)

 \( \Leftrightarrow {m^2} - 8m - 48 = 0 \Leftrightarrow m =  - 4\)hoặc m = 12

Vậy với \(m \in {\rm{\{ }} - 4;12{\rm{\} }}\) thì Hàm số  \(y = \sqrt { - 2{x^2} + mx - m - 6} \)có tập xác định chỉ gồm một phần tử .

Bài 6.61 trang 27 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6 cm, AD = 13 cm. Tìm vị trí điểm M trên cạnh AD sao cho BM = 2MD

Lời giải:

Gọi x (cm) (0 < x < 13) là độ dài AM.

Khi đó MD = 13 – x (cm) và BM = \(\sqrt {A{M^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{x^2} + 36} \) (cm)

Theo giả thiết, BM = 2MD \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 36}  = 2(13 - x)\) (*)

Bình phương 2 vế PT (*) ta có:

\({x^2} + 36 = 4{x^2} - 104x + 676 \Leftrightarrow 3{x^2} - 104x + 640 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{80}}{3}\) hoặc x = 8

Kết hợp với điều kiện, PT (*) có nghiệm duy nhất x = 8

Vậy với AM = 8 cm thì BM = 2MD.

Bài 6.62 trang 27 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong Vật lí ta biết rằng, khi một vật được ném xiên với vận tốc ban đầu v₀, góc ném hợp với phương ngang Ox một góc \(\alpha \), nếu ta bỏ qua sức cản của không khí và gió, vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực với gia tốc trọng trường \(g \approx 9,8\) m/s², thì độ cao y (so với mặt đất) của vật phụ thuộc vào khoảng cách theo phương ngang x (tính đến mặt đất tại điểm ném) theo một hàm số bậc hai cho bởi công thức

\(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \)

Như vậy quỹ đạo chuyển động của vật là một phần của đường parabol. Hãy xác định

a) Các hệ số a, b và c của hàm số bậc hai này

b) Độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được

c) Giả sử vận tốc ban đầu v₀ không đổi. Từ kết quả câu b) hãy xác định góc ném \(\alpha \) để độ cao của vật đạt giá trị lớn nhất

d) Một quả bóng được đá từ mặt đất lên cao với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s và góc đá so với phương ngang là 45⁰. Khi quả bóng ở độ cao trên 5 m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng nằm trong khoảng nào (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

a) Hàm số bậc hai \(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \) có các hệ số:

\(a = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }} < 0\);         \(b = \tan \alpha \);    c = 0

b) Tam thức bậc hai \(\frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \) có \(\Delta  = {\tan ^2}\alpha \)

\( \Rightarrow \) Tung độ đỉnh của parabol là \( - \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha }}{{\frac{{4g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{v_0^2{{\tan }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }}{{2g}} = \frac{{v_0^2{{\sin }^2}\alpha }}{{2g}}\)

Vậy độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được là \(\frac{{v_0^2{{\sin }^2}\alpha }}{{2g}}\) m

c) \(\frac{{v_0^2{{\sin }^2}\alpha }}{{2g}} \le \frac{{v_0^2}}{{2g}}\) \( \Rightarrow {y_{\max }} = \frac{{v_0^2}}{{2g}}\) khi \(\sin \alpha  = 1 \Leftrightarrow \alpha  = {90^0}\)

Vậy với góc ném \(\alpha  = {90^0}\) thì độ cao của vật đạt GTLN

d) Với v₀ = 20 m/s, \(\alpha  = {45^0}\), \(g = 9,8\) m/s² ta có:

\(y = \frac{{ - 9,8}}{{{{2.20}^2}.{{\cos }^2}{{45}^0}}}{x^2} + x.\tan {45^0} \Leftrightarrow y =  - \frac{{49}}{{2000}}{x^2} + x\)

Theo giả thiết, \(y > 5 \Leftrightarrow  - \frac{{49}}{{2000}}{x^2} + x - 5 > 0 \Leftrightarrow 5,83 < x < 34,98\)

Vậy khi quả bóng ở độ cao trên 5 m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng nằm trong khoảng \(x \in (5,83;34,98)\) mét.

Bài 6.63 trang 27 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Một công ti kinh doanh máy tính cầm tay thấy rằng khi bán máy ở mức giá x (nghìn đồng) một chiếc thì số lượng máy bán được n cho bởi phương trình n = 1 200 000 – 1 200x.

a) Tìm công thức biểu diễn doanh thu R như là hàm số của đơn giá x. Tìm miền xác định của hàm số R = R(x)

b) Máy tính được bán ở đơn giá nào sẽ cho doanh thu lớn nhất? Tính doanh thu lớn nhất và số máy tính bán được trong trường hợp đó

c) Với đơn giá nào thì công ti sẽ đạt được doanh thu trên 200 tỉ đồng (làm tròn đến nghìn đồng)?

Lời giải:

a) Ta có: \(R(x) = x.n \Leftrightarrow R(x) = x(1200000 - 1200x) \Leftrightarrow R(x) =  - 1200{x^2} + 1200000x\)

Xét BPT \( - 1200{x^2} + 1200000x \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 1000\)

Miền xác định của hàm số R = R(x) là [0 ; 1 000]

b) Parabol \(R(x) =  - 1200{x^2} + 1200000x\) có đỉnh \(I\left( {500;300000000} \right)\)

\( \Leftrightarrow \)y_max = 300 000 000 đạt được khi x = 500

Vậy doanh thu bán máy tính lớn nhất là 300 tỉ đồng với đơn giá 500 nghìn đồng 1 chiếc

Số máy tính bán được khi doanh thu lớn nhất là: 1 200 000 – 1 200 . 500 = 600 000 (máy)

c) Theo giả thiết ta có BPT:

\( - 1200{x^2} + 1200000x > 200000000 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3000x + 500000 < 0 \Leftrightarrow 211,32 < x < 788,68\)

Vậy với đơn giá từ 212 nghìn đồng đến 788 nghìn đồng 1 chiếc máy tính thì công ti sẽ đạt được doanh thu trên 200 tỉ đồng

Sachbaitap.com