Giải SBT Toán 10 trang 41, 42 Kết nối tri thức tập 2

Bài 7.19 trang 41 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Tìm tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\) trong các trường hợp sau:

a) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 49\)

b) \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 23\)

Phương pháp:

Phương trình đường tròn \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính R

Lời giải:

Phương trình đường tròn có dạng: (x – a)² + (y – b)² = R²

Với (a; b) là tọa độ tâm I và R > 0 là bán kính của đường tròn

a)

Xét (x – 2)² + (y – 8)² = 49 có:

a = 2, b = 8, R² = 49 ⇒ R = 7

Vậy đường tròn (C) có tâm I(2; 8) và bán kính R = 7.

b)

Xét(x + 3)² + (y – 4)² = 23 có:

Bài 7.20 trang 41 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn? Khi đó hãy tìm tâm và bán kính của nó

a) \({x^2} + 2{y^2} - 4x - 2y + 1 = 0\)

b) \({x^2} + {y^2} - 4x + 3y + 2xy = 0\)

c) \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 26 = 0\)

d) \({x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 13 = 0\)

e) \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 1 = 0\)

Phương pháp:

Phương trình: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn khi: \({a^2} + {b^2} - c > 0\) khi đó \(I\left( {a;b} \right),R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Lời giải:

a)

Phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn do hệ số của x² và y² không bằng nhau

b)

Phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn do trong phương trình của đường tròn không có thành phần tích xy.

c)

Phương trình đã cho có các hệ số a = 4, b = 3, c = 26, ta có:

a² + b² – c = 4² + 3² – 26 = –1 < 0

do đó nó không là phương trình của đường tròn.

d)

Phương trình đã cho có các hệ số a = –3, b = 2, c = 13, ta có:

a² + b² – c = (–3)² + 2² – 13 = 0

do đó nó không là phương trình của đường tròn.

e)

Phương trình đã cho có các hệ số a = 2, b = –1, c = 1, ta có:

a² + b² – c = 2² + (–1)² – 1 = 4 > 0

Bài 7.21 trang 41 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Viết phương trình của đường tròn \(\left( C \right)\) trong các trường hợp sau:

a) Có tâm \(I\left( {3;1} \right)\) và có bán kính \(R = 2\)

b) Có tâm \(I\left( {3;1} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( { - 1;7} \right)\)

c) Có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y - 1 = 0\)

d) Có đường kính AB với \(A\left( {4;1} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 5} \right)\)

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {3;1} \right)\) và có bán kính \(R = 2\):

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {2^2} = 4\)

b) Có tâm \(I\left( {3;1} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( { - 1;7} \right)\)

+ \(R = IM = \sqrt {{4^2} + {6^2}}  = \sqrt {52} \)

+ Phương trình đường tròn: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 52\)

c) Có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y - 1 = 0\)

+ \(R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.2 - 2\left( { - 4} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \sqrt {13} \)

+ Phương trình đường tròn: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 13\)

d) Có đường kính AB với \(A\left( {4;1} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 5} \right)\)

+ I là trung điểm của AB nên \(A\left( {1; - 2} \right)\)

+ \(R = IA = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 \)

+ Phương trình đường tròn: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 18\)

Bài 7.22 trang 41 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta :x + y - 1 = 0\) và đi qua hai điểm \(A\left( {6;2} \right),B\left( { - 1;3} \right)\)

Lời giải:

+ Gọi điểm I thuộc đường thẳng \(\Delta :x + y - 1 = 0 \Rightarrow I\left( {t;1 - t} \right)\)

+ \(IA = IB \Rightarrow {\left( {t - 6} \right)^2} + {\left( { - 1 - t} \right)^2} = {\left( {t + 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - t} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {t^2} - 12t + 36 = {t^2} + 4t + 4 \Rightarrow 16t = 32 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow I\left( {2; - 1} \right)\)

+ \(R = IA = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5\)

+ Phương trình đường tròn: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 25\)

Bài 7.23 trang 42 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho đường thẳng \(\left( C \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + 6x - 4y - 12 = 0\). Viết phương trình tiếp tuyến của \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {0, - 2} \right)\)

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm M có vector pháp tuyến là IM với I là tâm đường tròn \(\left( C \right)\)

Lời giải:

+ \({x^2} + {y^2} + 6x - 4y - 12 = 0 \Rightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25 \Rightarrow I\left( { - 3;2} \right)\)

+ Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {0, - 2} \right)\) vector pháp tuyến là \(\overrightarrow {IM}  = \left( {3; - 4} \right)\)

+ Phương trình đường thẳng \(\Delta :3\left( {x - 0} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0 \Rightarrow \Delta :3x - 4y - 8 = 0\)

Bài 7.24 trang 42 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho điểm \(A\left( {4;2} \right)\) và hai đường thẳng \(d:3x + 4y - 20;d':2x + y = 0\)

a) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d

b) Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm thuộc đường thẳng d’ và tiếp xúc với d tại A

Phương pháp:

Áp dụng các quan hệ vuông góc và song song để tìm ra các vector pháp tuyến và chỉ phương của đường thẳng

Lời giải:

a)  \(\Delta  \bot d \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow {{v_\Delta }}  = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {4; - 3} \right)\)

Phương trình đưởng thẳng \(\Delta \) có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {4; - 3} \right)\) và đi qua \(A\left( {4;2} \right)\) là \(4\left( {x - 4} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Rightarrow 4x - 3y - 10 = 0\)

b) Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm thuộc đường thẳng d’ và tiếp xúc với d tại A

+ Tâm I thuộc đường thẳng d’ \( \Rightarrow I\left( {t; - 2t} \right)\)

+ Phương trình đưởng tròn tiếp xúc với d tại A \( \Rightarrow IA \bot d' \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {{v_d}}  = 0 \Rightarrow \left( {t - 4; - 2t - 2} \right).\left( {1; - 2} \right) = 0 \Rightarrow t - 4 + 4t + 4 = 0 \Rightarrow t = 0\)

\( \Rightarrow I\left( {0;0} \right)\)

+ \(IA = R = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 \)

+ Phương trình đường tròn: \({x^2} + {y^2} = 20\)

Bài 7.25 trang 42 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho đường tròn \(\left( C \right)\), đường thẳng \(\Delta \) có phương trình lần lượt là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2,x + y + 2 = 0\)

a) Chứng minh \(\Delta \) là một tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của \(\left( C \right)\), biết rằng d song song với đường thẳng \(\Delta \)

Phương pháp:

+ Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn \(C\left( {I,R} \right)\) khi \(d\left( {I,d} \right) = R\)

Lời giải:

a) \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2\) có \(I\left( {1; - 1} \right),R = \sqrt 2 \)

Tính \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2  = R\)

Nên d là tiếp tuyến của đường tròn \(C\left( {I,R} \right)\)

b)

+ d song song với đường thẳng \(\Delta \) \(\Rightarrow \) \(d:x + y + c = 0\left( {c \ne 2} \right)\)

+ d là tiếp tuyến của \(C\left( {I,R} \right) \Rightarrow d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2  \Rightarrow \left| c \right| = 2 \Rightarrow c =  - 2\)

\( \Rightarrow d:x + y - 2 = 0\)

Bài 7.26 trang 42 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho đường thẳng \(\Delta :x\sin {\alpha ^ \circ } + ycos{\alpha ^ \circ } - 1 = 0\), trong đó \(\alpha \) là một số thực thuộc khoảng \(\left( {0;180} \right)\)

a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng \(\Delta \)

b) Chứng minh rằng khi \(\alpha \) thay đổi, tồn tại một đường tròn cố định luôn tiếp xúc với đường thẳng d

Lời giải:

a) \(d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sin {\alpha ^ \circ }} \right)}^2} + {{\left( {cos{\alpha ^ \circ }} \right)}^2}} }} = 1\)

b) Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm O(0;0) bán kính \(R = 1\), đường tròn này cố định.

Ta chứng minh đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng d với mọi \(\alpha\).

Vì \(d\left( {O,\Delta } \right) = 1 = R, \forall \alpha\) nên \(\left( C \right)\) luôn tiếp xúc với \(\Delta \). Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là \({x^2} + {y^2} = 1\)

Bài 7.27 trang 42 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Vị trí của một chất điểm M tại thời điểm t (t trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có tọa độ là \(\left( {3 + 5\sin {t^ \circ };4 + 5cos{t^ \circ }} \right)\). Tìm tọa độ của chất điểm M khi M ở cách xa gốc tọa đô nhất.

Lời giải:

+ Từ cách xác định tọa độ của chất điểm M ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 3 + 5\sin {t^ \circ }\\{y_M} = 4 + 5cos{t^ \circ }\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} - 3 = 5\sin {t^ \circ }\\{y_M} - 4 = 5cos{t^ \circ }\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = 25\)

Vậy chất điểm M luôn thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;4} \right)\) và có bán kính \(R = 5\). Mặt khác gốc tọa độ O cũng thuộc đường tròn \(\left( C \right)\). Do đó ta có \(OM \le 2R = 10\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(OM\) là đường đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\), tức là I là trung điểm của OM, điều đó tương đương với:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2{x_1} - {x_0}\\{y_M} = 2{y_1} - {y_0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin {t^ \circ } = \frac{3}{5}\\cos{t^ \circ } = \frac{4}{5}\end{array} \right.\) (có \(t \in \left( {0;180} \right)\)thỏa mãn hệ)

Vậy \(M\left( {6;8} \right)\)

Sachbaitap.com