Giải SBT Toán 10 trang 54, 55, 56 Chân trời sáng tạo tập 1

Bài 1 trang 54 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Hàm số nào trong các hàm sau đây không phải là hàm số bậc hai?

a) \(y = 3{x^2} + x - \sqrt 3 \)

b) \(y = {x^2} + \left| {x + 1} \right|\)

c) \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1{\rm{         với }}x \ge 0\\ - 2{x^2} - x{\rm{   với }}x < 0\end{array} \right.\)

d) \(y = 2\left( {{x^2} + 1} \right) + 3x - 1\)

Lời giải:

+ Hàm số a) có dạng y = ax2 + bx + c với a = 3 ≠ 0, b = 1 và c = $-\sqrt{3}$ nên đây là hàm số bậc hai.

+ Hàm số b) không phải là hàm số bậc hai vì công thức của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

+ Hàm số c) không phải là hàm số bậc hai vì hàm số này được cho bởi hai công thức.

+ Ta có y = 2(x2 + 1) + 3x – 1 hay y = 2x2 + 3x + 1 nên hàm số d) là hàm số bậc hai vì nó có dạng y = ax2 + bx + c với a = 2 ≠ 0, b = 3 và c = 1.

Vậy trong các hàm số đã cho, hàm số b) và hàm số c) không phải là hàm số bậc hai.

Bài 2 trang 55 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có đỉnh S , đi qua các điểm A, B, \(C\left( {0; - 1} \right)\) được cho trong hình 10

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Tìm tập giá trị của hàm số và chỉ ra các khoảng biến thiên của hàm số

Lời giải:

a) Ta vẽ parabol có bề lõm hướng lên trên và đi qua các điểm A, S, C, B, ta được đồ thị của hàm số đã cho như sau:

b) Đồ thị hàm số đã cho là parabol quay bề lõm lên trên nên hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng tung độ đỉnh của parabol.

Từ đồ thị, ta có đỉnh S có tọa độ (– 1; – 3). Suy ra hàm số có tập giá trị là [– 3; + ∞).

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị đi xuống từ trái qua phải trên khoảng (– ∞; – 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 1) và đồ thị đi lên từ trái qua phải trên khoảng (– 1; + ∞) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– 1; + ∞).

Bài 3 trang 55 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm công thức của hàm số có đồ thị vẽ được ở bài tập 2

Phương pháp:

Bước 1: Đặt công thức của hàm số theo dạng tổng quát \(y = a{x^2} + bx + c\)

Bước 2: Thay các điểm mà hàm số đi qua và sử dụng các tính chất của hàm số bậc hai để xác định a, b, c

 Lời giải:

Hàm số bậc hai có công thức tổng quát: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1 nên c = – 1.

Do đó công thức của hàm số là: y = ax² + 2ax – 1.

Lại có đồ thị đi qua đỉnh S(– 1; – 3) nên ta có: – 3 = a . (– 1)² + 2a . (– 1) – 1.

Suy ra a = 2 (t/m) và b = 2 . 2 = 4.

Vậy hàm số cần tìm là y = 2x² + 4x – 1.

Bài 4 trang 55 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm công thức hàm số bậc hai biết:

a) Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm \(A\left( {1; - 3} \right),B\left( {0; - 2} \right),C\left( {2; - 10} \right)\)

b) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 3\), cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 16\) và một trong hai giao điểm với trục hoành có hoành độ là \( - 2\)

Phương pháp:

a) Bước 1: Đặt phương trình dạng tổng quát \(y = a{x^2} + bx + c\)

Bước 2: Thay tọa độ các điểm mà đồ thị hàm số đi qua, lập hệ phương trình và xác định a, b, c

b) Sử dụng các tính chất của đồ thị hàm số bậc 2 và xác định các hệ số a, b, c

 Lời giải:

Hàm số bậc hai có công thức tổng quát: y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; – 3) nên: – 3 = a . 1² + b . 1 + c hay a + b + c = – 3. (1)

Đồ thị hàm số đi qua điểm B(0; – 2) nên: – 2 = a . 0² + b . 0 + c hay c = – 2.

Đồ thị hàm số đi qua điểm C(2; – 10) nên: – 10 = a . 2² + b . 2 + c hay 4a + 2b + c = – 10. (2).

Thay c = – 2 vào (1) ta được: a + b – 2 = – 3 ⇔ a + b = – 1 ⇔ a = – 1 – b. (3)

Thay c = – 2 vào (2) ta được: 4a + 2b – 2 = – 10 ⇔ 4a + 2b = – 8 ⇔ 2a + b = – 4. (4)

Thay (3) vào (4) ta được: 2.(– 1 – b) + b = – 4 ⇔ – 2 – 2b + b = – 4 ⇔ b = 2.

Thay b = 2 vào (3) ta được: a = – 1 – 2 = – 3 (t/m).

 Vậy công thức hàm số là y = – 3x² + 2x – 2.

b) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 16 nên c = – 16.

Khi đó, công thức hàm số là f(x) = ax² + bx – 16.

Một trong hai giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành có hoành độ bằng – 2 nên ta có a . (– 2)² + b . (– 2) – 16 = 0 hay 2a – b – 8 = 0. (*)

Thay b = – 6a vào (*) ta có: 2a – (– 6a) – 8 = 0 ⇔ 8a = 8 ⇔ a = 1.

Suy ra: b = – 6 . 1 = – 6.

Vậy công thức hàm số là y = x2 – 6x – 16.

Bài 5 trang 55 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm khoảng biến thiên và tập giá trị của các hàm số sau:

a) \(y = f\left( x \right) =  - 2{x^2} - 4x + 7\)   

b) \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 6x + 1\) 

Lời giải:

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên (– ∞; – 1) và nghịch biến trên (– 1; + ∞).

Hàm số có tập giá trị là T = (– ∞; 9].

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên (– ∞; 3) và đồng biến trên (3; + ∞).

Hàm số có tập giá trị là T = [– 8; + ∞).

Bài 6 trang 55 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm tập xác định, giá trị lớn nhất của hàm số, tập giá trị và các khoảng biến thiên của hàm số biết đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S như hình 11

Lời giải:

- Hàm số có đồ thị là parabol nên là hàm số bậc hai, do đó hàm số này có tập xác định D = ℝ.

- Parabol có bề lõm hướng xuống dưới, có đỉnh S(2; – 1) nên hàm số có bảng biến thiên như sau:

Từ đó, ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất là – 1 nên có tập giá trị là T = (– ∞; – 1] và hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 2), nghịch biến trên khoảng (2; + ∞).

Bài 7 trang 56 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Giả sử hàm số bậc hai mô phỏng vòm phía trong một trụ của cầu nhật tân là:

                             \(y = f\left( x \right) =  - \frac{{187}}{{856}}{x^2} + \frac{{8041}}{{856}}x\) (đơn vị đo: mét)

a) Hãy tính chiêu dài đoạn dây dọi sử dụng nếu khoảng cách từ chân của trụ cầu đễn quả nặng là 30 cm

b) Hãy tính khoảng cách từ chân trụ cầu đến quả nặng nếu biết chiều dài đoạn dây dọi sử dụng là 15 m

Phương pháp:

Bước 1: Xác định x, y từ yêu cầu bài toán

Bước 2: Thay tọa đồ vừa tìm được vào phương trình và tìm giá trị còn lại

Lời giải:

a xét điểm B trên hình.

a) Đổi 30 cm = 0,3 m.

Chiều dài l của đoạn dây dọi sử dụng là tung độ của điểm B trên parabol có xB = 0,3.

Vậy chiều dài dây dọi khoảng 2,8 m.

b) Khoảng cách từ chân trụ đến quả nặng là hoành độ điểm B trên parabol với yB = 15.

⇔ – 187x_B² + 8041x_B – 12840 = 0

Suy ra x₁ ≈ 41,34 và x₂ ≈ 1,66.

Vậy khoảng cách từ chân trụ cầu bên trái đến quả nặng là khoảng 1,66 m, khoảng cách từ chân trụ cầu bên phải đến quả nặng là khoảng 41,34 m.

Theo đề bài, ta chọn kết quả 1,66 m.

Sachbaitap.com