Giải SBT Toán 10 trang 58, 59, 60 Chân trời sáng tạo tập 2

Bài 1 trang 58 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1;2} \right),\overrightarrow b  = \left( {3;0} \right)\)

a) Tìm tọa độ của vectơ \(2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b \)

b) Tính các tính vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b ,\left( {3\overrightarrow a } \right).\left( {2\overrightarrow b } \right)\)

Lời giải:

a) \(2\overrightarrow a  = 2\left( {1;2} \right) = \left( {2;4} \right),3\overrightarrow b  = 3\left( {3;0} \right) = \left( {9;0} \right)\)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  = \left( {11;4} \right)\)

b) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.3 + 2.0 = 3\)

+ \(3\overrightarrow a  = \left( {3;6} \right),2\overrightarrow b  = \left( {6;0} \right) \Rightarrow \left( {3\overrightarrow a } \right).\left( {2\overrightarrow b } \right) = 3.6 + 6.0 = 18\)

Bài 2 trang 58 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho ba vectơ \(\overrightarrow m  = \left( {1;1} \right),\overrightarrow n  = \left( {2;2} \right),\overrightarrow p  = \left( { - 1; - 1} \right)\). Tìm tọa độ của các vectơ

a) \(\overrightarrow m  + 2\overrightarrow n  - 3\overrightarrow p \);

b) \(\left( {\overrightarrow n .\overrightarrow p } \right)\overrightarrow m \)

Lời giải:

a) \(2\overrightarrow n  = \left( {4;4} \right),3\overrightarrow p  = \left( { - 3; - 3} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow m  + 2\overrightarrow n  - 3\overrightarrow p  = \left( {1;1} \right) + \left( {4;4} \right) - \left( { - 3; - 3} \right) = \left( {8;8} \right)\)

b) \(\overrightarrow n .\overrightarrow p  = 2\left( { - 1} \right) + 2\left( { - 1} \right) =  - 4 \Rightarrow \left( {\overrightarrow n .\overrightarrow p } \right)\overrightarrow m  =  - 4\left( {1;1} \right) = \left( { - 4; - 4} \right)\)

Bài 3 trang 59 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho tam giác MNP có tọa độ của các đỉnh là \(M\left( {3;3} \right),N\left( {7;3} \right),P\left( {3;7} \right)\)

a) Tìm tọa độ trung điểm E của cạnh MN

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP

Lời giải:

a) E là trung điểm của cạnh MN \( \Rightarrow E\left( {\frac{{3 + 7}}{2};\frac{{3 + 3}}{2}} \right) \Rightarrow E\left( {5;3} \right)\)

b) G là trọng tâm của tam giác MNP\( \Rightarrow G\left( {\frac{{3 + 7 + 3}}{3};\frac{{3 + 3 + 7}}{3}} \right) \Rightarrow G\left( {\frac{{13}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\)

Bài 4 trang 59 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là \(A\left( {1;3} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {6;4} \right)\)

a) Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC và số đo của góc B

b) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Lời giải:

Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là \(A\left( {1;3} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {6;4} \right)\)

a) Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC và số đo của góc B

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 \\\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 \\\overrightarrow {AC}  = \left( {5;1} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{5^2} + {1^2}}  = \sqrt {26} \end{array}\)

+ \(cos\left( B \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)} \right| = \frac{{2.3 - 2.3}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2}} }} = 0 \Rightarrow \widehat B = {90^ \circ }\)

b) Tam giác ABC vuông tại B có I là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC nên I là trung điểm của AC

\( \Rightarrow I\left( {\frac{{1 + 6}}{2};\frac{{3 + 4}}{2}} \right) \Rightarrow I\left( {\frac{7}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

Bài 5 trang 59 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho năm điểm \(A\left( {2;0} \right),B\left( {0; - 2} \right),C\left( {3;3} \right),D\left( { - 2; - 2} \right),E\left( {1; - 1} \right)\). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

a) Thuộc trục hoành

b) Thuộc trục tung

c) Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Lời giải:

a) Thuộc trục hoành, tức là \(y = 0 \Rightarrow \)A thuộc trục hoành

b) Thuộc trục tung tức là \(x = 0 \Rightarrow \) B thuộc trục tung

c) Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất tức là \(y = x\)

\(\Rightarrow \) C, D thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Bài 6 trang 59 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho điểm \(M\left( {4;5} \right)\). Tìm tọa độ:

a) Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục \(Ox\)

b) Điểm M’ đối xứng với M qua trục \(Ox\)

c) Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục \(Oy\)

d) Điểm M’’ đối xứng với M qua trục \(Oy\)

e) Điểm C đối xứng với M qua gốc O

Lời giải:

a)

+ \(MH \bot Ox = H \Rightarrow H \in Ox \Rightarrow H\left( {a;0} \right)\)

+ \(\overrightarrow {MH}  = \left( {a - 4; - 5} \right),\overrightarrow {{v_{Ox}}}  = \left( {1;0} \right) \Rightarrow a - 4 + 0 = 0 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow H\left( {4;0} \right)\)

b) Điểm M’ đối xứng với M qua trục \(Ox\) \( \Rightarrow \) H là trung điểm của MM’ \( \Rightarrow \) \(M'\left( {4; - 5} \right)\)

c)

+ \(MH \bot Oy = H \Rightarrow K \in Oy \Rightarrow H\left( {0;b} \right)\)

+ \(\overrightarrow {MK}  = \left( { - 4;b - 5} \right),\overrightarrow {{v_{Ox}}}  = \left( {0;1} \right) \Rightarrow 0 + b - 5 = 0 \Rightarrow b = 5 \Rightarrow K\left( {0;5} \right)\)

d) Điểm M’’ đối xứng với M qua trục \(Oy\)\( \Rightarrow \) K là trung điểm của MM’’ \( \Rightarrow \) \(M''\left( { - 4;5} \right)\)

e) Điểm C đối xứng với M qua gốc O \( \Rightarrow \) O là trung điểm của CM \( \Rightarrow \) \(C\left( { - 4; - 5} \right)\)

Bài 7 trang 59 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho ba điểm \(A\left( {1;1} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {4;4} \right)\)

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD

Lời giải:

a) ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left( {1;3} \right) = \left( {4 - x;4 - y} \right) \Rightarrow D\left( {3;1} \right)\)

b) Giao điểm hai đường chéo HBH là trung điểm của AC \( \Rightarrow \) \(O\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right)\)

Bài 8 trang 59 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là \(A\left( {1;1} \right),B\left( {7;3} \right),C\left( {4;7} \right)\) và cho các điểm \(M\left( {2;3} \right),N\left( {3;5} \right)\)

a) Chứng minh bốn điểm A, M, N, C thẳng hàng

b) Chứng minh trọng tâm của các tam giác ABC và MNB trùng nhau

Lời giải:

a) \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3;6} \right),\overrightarrow {AM}  = \left( {1;2} \right),\overrightarrow {AN}  = \left( {2;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AM}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} \) \( \Rightarrow \) Bốn điểm A, M, N, C thẳng hàng

b) Chứng minh trọng tâm của các tam giác ABC và MNB trùng nhau

+ Trọng tâm của các tam giác ABC: \({G_1}\left( {\frac{{1 + 7 + 4}}{3};\frac{{1 + 3 + 7}}{3}} \right) \Rightarrow {G_1}\left( {4;\frac{{11}}{3}} \right)\)

+ Trọng tâm của các tam giác MNB: \({G_2}\left( {\frac{{2 + 7 + 3}}{3};\frac{{3 + 3 + 5}}{3}} \right) \Rightarrow {G_2}\left( {4;\frac{{11}}{3}} \right)\)

\( \Rightarrow \) Trọng tâm của các tam giác ABC và MNB trùng nhau

Bài 9 trang 59 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho bốn điểm \(M\left( {6; - 4} \right),N\left( {7;3} \right),P\left( {0;4} \right),Q\left( { - 1; - 3} \right)\). Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông

Lời giải:

+ \(\overrightarrow {MN}  = \left( {1;7} \right),\overrightarrow {QP}  = \left( {1;7} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {QP} \) \( \Rightarrow \) MNPQ là hình bình hành

+ \(\overrightarrow {MN}  = \left( {1;7} \right),\overrightarrow {MQ}  = \left( { - 7;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MQ}  = 0 \Rightarrow MN \bot MQ\) \( \Rightarrow \) MNPQ là HCN

+ \(MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{1^2} + {7^2}}  = \sqrt {50} \)

\(\begin{array}{l}MQ = \left| {\overrightarrow {MQ} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt {50} \\ \Rightarrow MN = MQ\end{array}\)

\( \Rightarrow \) MNPQ là Hình vuông

Bài 10 trang 59 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) trong các trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 4} \right),\overrightarrow b  = \left( {5;3} \right)\)

b) \(\overrightarrow a  = \left( {4;3} \right),\overrightarrow b  = \left( {6;0} \right)\)

c) \(\overrightarrow a  = \left( {2;2\sqrt 3 } \right),\overrightarrow b  = \left( { - 3;\sqrt 3 } \right)\)

Lời giải:

a) \(cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{1.5 - 4.3}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = \frac{{ - 7\sqrt 2 }}{{34}} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \approx {106^ \circ }56'\)

b) \(cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{4.6 + 3.0}}{{\sqrt {{4^2} + {6^2}} .\sqrt {{3^2} + {0^2}} }} = \frac{4}{5} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \approx {36^ \circ }52'\)

c) \(cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{2.\left( { - 3} \right) + 2\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \approx {90^ \circ }\)

Bài 11 trang 60 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho điểm \(A\left( {1;4} \right)\). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 3, sao cho tam giác ABC vuông tại C

Lời giải:

+ B là điểm đối xứng của A qua O \( \Rightarrow \) O là trung điểm của AB \( \Rightarrow \) \(B\left( { - 1; - 4} \right)\)

+ Gọi \(C\left( {x;3} \right)\)

+ \(\overrightarrow {AC}  = \left( {x - 1; - 1} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {x + 1;7} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 7 = 0 \Rightarrow {x^2} - 1 - 7 = 0 \Rightarrow {x^2} = 8 \Rightarrow x =  \pm 2\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow C\left( {2\sqrt 2 ;3} \right),C\left( { - 2\sqrt 2 ;3} \right)\)

Bài 12 trang 60 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {2;2} \right)\). Hãy tìm tọa độ một vectơ đơn vị \(\overrightarrow e \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \)

Lời giải:

Ta có: \(\vec a = \left( {2;2} \right) = \frac{2}{k}\left( {k;k} \right) \)

\(\Rightarrow \) Với \(k>0\) thì \(\vec e = (k;k)\) là 1 vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow a \) 

Để \(\vec e\) là vecto đơn vị thì \(\left| {\vec e} \right| = 1\)

\(\Leftrightarrow \sqrt {{k^2} + {k^2}}  = 1 \Leftrightarrow 2{k^2} = 1 \Leftrightarrow k = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (vì \(k>0\))

Vậy vecto đơn vị cùng hướng với \(\vec a\) là \(\vec e = (\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2})\).

Sachbaitap.com