Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Vẽ hình bình hành \(BCED\).
a) Tìm góc giữa đường thẳng \(AB\) và \(\left( {BCD} \right)\).
b) Tim góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,CD,B} \right];\left[ {A,CD,E} \right]\).
Phương pháp:
‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,d,B} \right]\): Dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(d\), gọi \(a,a'\) lần lượt là giao tuyến của \(\left( P \right)\) với hai nửa mặt phẳng chứa \(A,B\), khi đó \(\left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a'} \right)\).
Lời giải:
a) Gọi I là trung điểm của CD, O là tâm của ΔBCD.
⇒ AO ⊥ (BCD)
⇒ (AB, (BCD)) = (AB, OB) =
Vậy góc giữa đường thẳng AB và (BCD) là .
b)
• ΔACD đều nên AI ⊥ CD
• ΔBCD đều nên BI ⊥ CD
Do đó [A, CD, B]=ˆAIB[A, CD, B]=.
Vậy là góc phẳng nhị diện [A, CD, B].
• ΔACD đều nên AI ⊥ CD
• ΔECD đều nên EI ⊥ CD
Do đó [A, CD, E] = .
Vậy là góc phẳng nhị diện [A,CD, E].
Bài 2 trang 85 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(O\) là tâm của đáy và có tất cả các cạnh bằng nhau.
a) Tìm góc giữa đường thẳng \(SA\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
b) Tim góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SO,B} \right];\left[ {S,AB,O} \right]\).
Phương pháp:
‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,d,B} \right]\): Dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(d\), gọi \(a,a'\) lần lượt là giao tuyến của \(\left( P \right)\) với hai nửa mặt phẳng chứa \(A,B\), khi đó \(\left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a'} \right)\).
Lời giải:
a) S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có O là tâm của đáy
⇒ SO ⊥ (ABCD) ⇒ (SA, (ABCD)) = (SA,OA) =
Vậy góc giữa đường thẳng SA và (ABCD) là
b) Gọi M là trung điểm của AB
SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AO, SO ⊥ BO
Vậy AOB là góc phẳng nhị diện [A, SO, B]
• ABCD là hình vuông nên
• ΔSAB đều nên SM ⊥ AB
• ΔOAB vuông cân tại O nênOM ⊥ AB
Vậy là góc phẳng nhị diện [S, AB, O].
Bài 3 trang 85 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp cụt lục giác đều \(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\) với \(O\) và \(O'\) là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là \(a\) và \(\frac{a}{2},OO' = a\)
a) Tìm góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
b) Tìm góc phẳng nhị diện \(\left[ {O,AB,A'} \right];\left[ {O',A'B',A} \right]\).
Phương pháp:
‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,d,B} \right]\): Dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với , gọi \(a,a'\) lần lượt là giao tuyến của \(\left( P \right)\) với hai nửa mặt phẳng chứa \(A,B\), khi đó \(\left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a'} \right)\).
Lời giải:
a) Kẻ C′H ⊥ OC (H OC).
OO′C′H là hình chữ nhật nên OO′// C′H.
Mà OO′ ⊥ (ABCDEF) nên C′H ⊥ (ABCDEF).
Do đó (CC′, (ABCDEF)) = (CC′, CH) = .
b) Gọi M, M′ lần lượt là trung điểm của AB, A′B′.
Khi đó, OM ⊥ AB, O′M′ ⊥ A′B.
ABB′A′ là hình thang cân nên MM′ ⊥ AB, MM′ ⊥ A′B.
Do đó [O, AB, A′] = ; [O′, A′B′, A] =
Bài 4 trang 85 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Một con dốc có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với kích thước như trong Hình 9.
a) Tính số đo góc giữa đường thẳng \(CA'\) và .
b) Tính số đo góc nhị diện cạnh \(CC'\).
Phương pháp:
‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
‒ Cách xác định góc nhị diện \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\)
Bước 1: Xác định \(c = \left( {{P_1}} \right) \cap \left( {{Q_1}} \right)\).
Bước 2: Tìm mặt phẳng \(\left( R \right) \supset c\).
Bước 3: Tìm \(p = \left( R \right) \cap \left( {{P_1}} \right),q = \left( R \right) \cap \left( {{Q_1}} \right),O = p \cap q,M \in p,N \in q\).
Khi đó \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right] = \widehat {MON}\).
Lời giải:
a) Xét tam giác vuông CBB′ có:
Gọi là góc giữa đường thẳng (CA′, (CC′B′B)) =
Khi đó: .
Suy ra α≈ 14°22'.
b) Ta có: CC′ ⊥ (ABC) ⇒ CC′ ⊥ AC, CC′ ⊥ BC.
Gọi là góc phẳng nhị diện cạnh [A’, CC’, B’] = .
Suy ra
Bài 5 trang 85 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Người ta định đào một cái hầm có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có hai cạnh đáy là 14 m và 10 m. Mặt bên tạo với đáy nhỏ thành một góc nhị diện có số đo bằng 135°. Tính số mét khối đất cần phải di chuyển ra khỏi hầm.
Phương pháp:
‒ Cách xác định góc nhị diện \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\)
Bước 1: Xác định \(c = \left( {{P_1}} \right) \cap \left( {{Q_1}} \right)\).
Bước 2: Tìm mặt phẳng \(\left( R \right) \supset c\).
Bước 3: Tìm \(p = \left( R \right) \cap \left( {{P_1}} \right),q = \left( R \right) \cap \left( {{Q_1}} \right),O = p \cap q,M \in p,N \in q\).
Khi đó \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right] = \widehat {MON}\).
‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều: \(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'} + S'} \right)\).
Lời giải:
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OF = 7m
Chiều cao khối chóp S.ABCD là:
Tuơng tự có chiều cao khối chóp S.A′B′C′D′ là: SO′ = 5m
Thể tích khối chóp S.ABCD:
Thể tích khối chóp S.A’B’C’D’:
Thể tích khối chóp cụt bằng số khối đất phải đào:
Vậy có 290,6 m3 khối đất cần phải di chuyển ra khỏi hầm.
Sachbaitap.com
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục