Giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 trang 86, 87

Bài 1 trang 86 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt đáy. Đường thẳng \(C{\rm{D}}\) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

A. \(\left( {SAD} \right)\).

B. \(\left( {SAC} \right)\).

C. \(\left( {SAB} \right)\).

D. \(\left( {SBD} \right)\).

Phương pháp: 

Sử dụng định lí 1: Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(a\) và \(b\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha  \right)\).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD.

Mà ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD.

Do đó CD ⊥ (SAD).

Bài 2 trang 86 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(b\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy, \(SC = 2b\sqrt 2 \). Số đo góc giữa cạnh bên \(SC\) và mặt đáy là

A. \({60^ \circ }\).

B. \({30^ \circ }\).

C. \({45^ \circ }\).

D. \({50^ \circ }\).

Phương pháp: 

Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có SA ⊥ (ABCD) suy ra (SC, (ABCD)) = (SC, AC) =

Mà ABCD là hình vuông nên 

Vậy (SC, (ABCD)) = 60°

Bài 3 trang 86 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \({\rm{S}}A\). Mặt phẳng  \(\left( {MBD} \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

A. \(\left( {SBC} \right)\).

C. \(\left( {SBD} \right)\).

B. \(\left( {SAC} \right)\).

D. \(\left( {ABCD} \right)\).

Phương pháp: 

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi O là tâm của đáy.

Khi đó SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BD

Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD. Khi đó:

Bài 4 trang 86 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) cạnh đáy bằng \(2a\) và chiều cao bằng \(a\sqrt 2 \). Khoảng cách từ tâm \(O\) của đáy \(ABC\) đến một mặt bên là

A. \(\frac{{a\sqrt {14} }}{7}\).                          

B. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{7}\).       

C. \(\frac{{a\sqrt {14} }}{2}\).

D. \(\frac{{2a\sqrt {14} }}{7}\).

Phương pháp: 

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Tính khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi I là trung điểm của BC, kẻ OH ⊥ SI (H $\in$ SI).

Vì ΔABC là tam giác đều nên AI ⊥ BC

Ta có: SO⊥(ABC) nên SO⊥BC

⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ OH

Mà OH ⊥ SI nên OH ⊥ (SBC)

Do đó d(O, (SBC)) = OH

ΔABC là tam giác đều 

ΔOHI vuông tại O, OH là đường cao:

Bài 5 trang 86 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Thể tích của khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn bằng \(2a\), cạnh đáy nhỏ bằng \(a\) và chiều cao bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) là

A. \(\frac{{7\sqrt 2 }}{8}{a^3}\).                       

B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}{a^3}\).  

C. \(\frac{{7\sqrt 2 }}{{12}}{a^3}\).                                

D. \(\frac{{7\sqrt 3 }}{4}{a^3}\).

Phương pháp: 

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều: \(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'}  + S'} \right)\).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Diện tích đáy lớn là: 

Diện tích đáy bé là: 

Thể tích của bồn chứa là: 

Bài 6 trang 86 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với \(AB = 4a,\) \(AD = 3a\). Các cạnh bên đều có độ dài \(5a\). Góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) có số đo là

A. \({75^ \circ }46'\).

B. \({71^ \circ }21'\).

C. \({68^ \circ }31'\).

D. \({65^ \circ }12'\).

Phương pháp: 

Cách xác định góc nhị diện \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\)

Bước 1: Xác định \(c = \left( {{P_1}} \right) \cap \left( {{Q_1}} \right)\).

Bước 2: Tìm mặt phẳng \(\left( R \right) \supset c\).

Bước 3: Tìm \(p = \left( R \right) \cap \left( {{P_1}} \right),q = \left( R \right) \cap \left( {{Q_1}} \right),O = p \cap q,M \in p,N \in q\).

Khi đó \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right] = \widehat {MON}\).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm của đáy.

Kẻ OH ⊥ BC (H $\in$ BC)

Vì ΔSAC cân tại S nên SO ⊥ AC.

Vì ΔSBD cân tại S nên SO ⊥ BD.

⇒ SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC.

Mà OH ⊥ BC nên  là góc nhị diện [S, BC, A].

Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Nếu hình hộp chữ nhật có ba kích thước là \(3;4;5\) thì độ dài đường chéo của nó là:

A. \(5\sqrt 2 \).

B. 50.

C. \(2\sqrt 5 \).

D. 12.

Phương pháp: 

Sử dụng định lí Pitago.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = 3, BC = 4, AA′ = 5.

Bài 8 trang 86 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng \(a\) là

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).             

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).         

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).                  

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).

Phương pháp: 

Sử dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ: \(V = Sh\).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Diện tích đáy của khối lăng trụ là: 

Chiều cao của khối lăng trụ là cạnh bên của lăng trụ bằng: h = a.

Thể tích của khối lăng trụ là: 

Bài 9 trang 86 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình vuông \(ABCD\) và tam giác đều \(SAB\) cạnh \(a\) nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\).

a) Chứng minh rằng \(\left( {SMD} \right) \bot \left( {SNC} \right)\).

b) Tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SNC} \right)\).

Phương pháp: 

‒ Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

‒ Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Tính khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải:

a) Tam giác SAB đều có M là trung điểm AB nên SM ⊥ AB. Mà (SAB) ⊥ (SAB) nên SM ⊥ (ABCD). Suy ra SM ⊥ NC.

Xét ΔAMD và ΔDNC

AM = DN

AD = DC

Do đó ΔAMD và ΔDNC (c.g.c)

Suy ra  (hai góc tương ứng)

Mà 

Từ đó ta có tam giác DNI vuông tại I hay DM ⊥ NC. Mà SM ⊥ NC nên NC ⊥ (SND).

Vậy (SNC) ⊥ (SMD).

b) Kẻ MH ⊥ SI (H $\in$ SI).

Vì NC ⊥ (SMD) ⇒ NC ⊥ MH ⇒ MH ⊥ (SNC)

Tam giác SAB đều có SM là trung tuyến nên 

Tam giác CND vuông có DI là đường cao nên .

Suy ra 

Và SM ⊥ (ABCD) nên SM ⊥ MI.

Tam giác SMI vuông tại M có MH là đường cao

Bài 10 trang 87 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SC\) và \(SD\). Tính khoảng cách giữa \(AM\) và \(NP\).

Phương pháp: 

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.

Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.

Lời giải:

Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC

Mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (SAB)

Tam giác SBC có:

M là trung điểm SB

N là trung điểm SC

Do đó MN là đường trung bình nên MN // BC, .

Mà BC ⊥ (SAB) ⇒ MN ⊥ (SAB) ⇒ MN ⊥ AM.

Tam giác SCD cóN là trung điểm SC; P là trung điểm SD

Suy ra P là đường trung bình nên NP // CD.

Mà MN // BC, BC ⊥ CD nên MN ⊥ NP.

Vậy: $d(\mathrm{AM},\mathrm{NP})=\mathrm{MN}=.$

Bài 11 trang 87 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\); \(AB = AD = 2a;CD = a\); số đo góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) bằng \({60^ \circ }\). Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(A{\rm{D}}\). Biết hai mặt phẳng \(\left( {SBI} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a\).

Phương pháp: 

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}Sh\).

Lời giải:

Kẻ IH ⊥ BC

Ta có:

uy ra: SI ⊥ BC mà BC ⊥ IH ⇒ BC ⊥ (SHI)  BC ⊥ SH.

Lại có: $[S,\mathrm{BC},A]=$

.

Ta có: I là trung điểm AD $\mathrm{AI}=\mathrm{ID}=\mathrm{AD}=a$.

Gọi M là trung điểm của AB.

Bài 12 trang 87 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng \(2a\), cạnh đáy nhỏ bằng \(a\), chiều cao \(h = 2a\) và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng \(\frac{a}{2}\).

a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

b) Tính thể tích chân cột nói trên theo \(a\).

Phương pháp: 

‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,d,B} \right]\): Dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(d\), gọi \(a,a'\) lần lượt là giao tuyến của \(\left( P \right)\) với hai nửa mặt phẳng chứa \(A,B\), khi đó \(\left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a'} \right)\).

‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều: \(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'}  + S'} \right)\).

‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ: \(V = \pi {R^2}h\).

Lời giải:

Mô hình hoá chân cột bằng gang bằng cụt chóp tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ với O, O′ là tâm của hai đáy. Vậy AB = 2a, A′B′ = a, OO′ = 2a.

a) Gọi J, K lần lượt là trung điểm của CD, C′D′.

• A′B′C′D′ là hình vuông nên O′K ⊥ C′D′.

• CDD′C′ là hình thang cân nên JK ⊥ C′D.

Vậy  là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ,  là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy lớn.

b) Diện tích đáy lớn là: 

Diện tích đáy bé là:.

Thể tích hình chóp cụt là:

Thể tích hình trụ rỗng là: .

Thể tích chân cột là: 

Bài 13 trang 87 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bên \(AA' = a\), đáy \(ABCD\) là hình thoi có \(AB = BD = a\). Hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt đáy trùng với điểm \(O\) là giao điểm hai đường chéo của đáy. Tính thể tích của khối hộp.

Phương pháp: 

‒ Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ: \(V = Sh\).

Lời giải:

Xét tam giác ABD có AB = BD = AD = a nên ΔABD đều

Suy ra 

ABCD là hình thoi, O là trung điểm của BD

.

Ta có: AA′ ⊥ (ABCD)  AA′ ⊥ AO .

Sachbaitap.com