Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 trang 86

Bài 9.1 trang 86 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {x^2} - x\) tại \({x_0} = 1;\)            

b) \(y =  - {x^3}\) tại \({x_0} =  - 1.\)

Phương pháp:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

Lời giải:

a) Ta có: f'(1) = 

Vậy f'(1) = 1.

b) Ta có: f'(–1) = 

= 

Vậy f'(–1) = – 3.

Bài 9.2 trang 86 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = k{x^2} + c\) (với k, c là các hằng số);                      

b) \(y = {x^3}.\)

Phương pháp:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là \(y' = f'\left( x \right)\)

Lời giải:

a) Đặt y = f(x) = kx² + c.

Với x₀ bất kì, ta có:

Vậy hàm số y = kx² + c có đạo hàm là hàm số y' = 2kx.

b) Đặt y = f(x) = x³.

Với x₀ bất kì, ta có:

Vậy hàm số y = x³ có đạo hàm là hàm số y' = 3x².

Bài 9.3 trang 86 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y =  - {x^2} + 4x,\) biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ \({x_0} = 1;\)

b) Tiếp điểm có tung độ \({y_0} = 0.\)

Phương pháp:

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),\) trong đó \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải:

Đặt y = f(x) = – x² + 4x.

Với x₀ bất kì, ta có:

Vậy hàm số y = –x² + 4x có đạo hàm là hàm số y' = –2x + 4.

a)

Ta có: y'(1) = –2.1 + 4 = 2.

Ngoài ra, f(1) = 3 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y – 3 = 2(x – 1) hay y = 2x + 1.

b)

Ta có: y₀ = 0 nên –x₀² + 4x₀ = 0⇔ 

+) Với x0 = 0, y0 = 0, ta có y'(0) = 4, do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 4x.

+) Với x0 = 4, y0 = 0, ta có y'(4) = –4 do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = –4(x – 4) hay y = –4x + 16.

Bài 9.4 trang 86 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức \(h = 19,6t - 4,9{t^2}.\) Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Phương pháp:

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),\) trong đó \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải:

+ Đặt h = f(t) = 19,6t – 4,9t².

Với x₀ bất kì, ta có:

Vậy hàm số h = 19,6t – 4,9t2 có đạo hàm là hàm số h' = –9,8t0 + 19,6.

+ Khi vật chạm đất thì h = 0, tức là 19,6t – 4,9t2 = 0 ⇔

Khi t = 4, vận tốc của vật khi nó chạm đất là v(4) = h'(4) = –9,8.4 + 19,6 = –19,6 (m/s).

Bài 9.5 trang 86 SGK Toán 11 - Kết Nối Tri Thức tập 2

Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên \({L_1}\) và đoạn dốc xuống \({L_2}\) là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, \({L_1}\) và  \({L_2}\) phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc toạ độ đặt tại P và phương trình của parabol là \(y = a{x^2} + bx + c,\) trong đó x tính bằng mét.

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.

Phương pháp:

Hệ số góc của tiếp tuyến là \(f'\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải:

a) Vì gốc tọa độ đặt tại P nên P(0; 0) do đó ta có: c = y(0) = 0.

b) Ta tính được: y' = 2ax + b.

Suy ra: y'(0) = b.

Mà L₁ là phương trình tiếp tuyến tại P có hệ số góc 0,5 nên y'(0) = 0,5 ⇒ b = 0,5.

c) L₂ là phương trình tiếp tuyến tại Q có hệ số góc –0,75 nên

y'(x_Q) = 2ax_Q + 0,5 = –0,75.

Vì khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m nên x_Q – x_P = x_Q = 40.

⇒ 2a . 40 + 0,5 = –0,75 ⇒ a =

Khi đó phương trình parabol là $y=$

$d) Ta\; có: yQ=.$

Vậy chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q là: |yP – yQ| = 5.

Sachbaitap.com