Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Toán học

SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Giải SGK Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo trang 11, 12

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 11, bài 5, 6, 7 trang 12 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 2. Tính đạo hàm của hàm số (Fleft( x right) = x{e^x}), suy ra nguyên hàm của hàm số (fleft( x right) = left( {x + 1} right){e^x}).

Bài 1 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Tính đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = x{e^x}\), suy ra nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}\).

Phương pháp:

Sử dụng công thức đạo hàm để tính \(F'\left( x \right)\), sau đó kết luận.

Lời giải:

Có F'(x) = (xex)' = ex + xex = (1 + x)ex.

Do đó ∫f(x)dx=∫(x+1)exdx=xex+C.

Bài 2 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Tìm

a) \(\int {{x^5}dx} \)

b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}dx} \) \(\left( {x > 0} \right)\)

c) \(\int {{7^x}dx} \)

d) \(\int {\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}dx} \)

Phương pháp:

a, b) Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số luỹ thừa \(\int {{x^\alpha }}  = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C\).

c, d) Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ \(\int {{a^x}}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\).

Lời giải:

Bài 3 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} =  - \cot x + C} \) để tìm \(F\left( x \right)\), sau đó dùng điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\) để xác định hằng số \(C\).

Lời giải:

Bài 4 trang 11 SGK Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Tìm

a) \(\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx} \)

b) \(\int {\left( {5\cos x - 3\sin x} \right)dx} \)

c) \(\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)dx} \)

d) \(\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)

Phương pháp:

Sử dụng tính chất nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số, nguyên hàm của tích một số với một hàm số để đưa về tính nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. 

Lời giải:

Bài 5 trang 12 SGK Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Tìm

a) \(\int {x{{\left( {2x - 3} \right)}^2}dx} \)

b) \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} \)

c) \(\int {{{\tan }^2}xdx} \)

d) \(\int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx\)

Phương pháp:

a) Khai triển biểu thức \(x{\left( {2x - 3} \right)^2}\), sau đó đưa về tính nguyên hàm của các hàm số sơ cấp.

b) Sử dụng công thức hạ bậc \({\sin ^2}\alpha  = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\), sau đó đưa về tính nguyên hàm của các hàm số sơ cấp.

c) Sử dụng công thức \({\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\), sau đó đưa về tính nguyên hàm của các hàm số sơ cấp.

d) Biến đổi \(\int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx\) về dạng \(\int {{a^x}dx} \), rồi dùng công thức nguyên hàm của hàm số mũ.

Lời giải:

Bài 6 trang 12 SGK Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Kí hiệu \(h\left( x \right)\) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triểun với tốc độ \(h'\left( x \right) = \frac{1}{x}\) (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \(\left( {1 \le x \le 11} \right)\).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Phương pháp:

a) Chiều cao của cây sau \(x\) năm là \(h\left( x \right) = \int {h'\left( x \right)dx} \). Chúng ta nguyên hàm hàm số \(h'\left( x \right)\) để tìm \(h\left( x \right)\), sau đó sử dụng dữ kiện “sau năm đầu tiên cây cao 2 m” để tìm hằng số \(C\).

b) Để xác định sau bao nhiêu năm cây cao 3 m, ta giải phương trình \(h\left( x \right) = 3\).

Lời giải:

a) Chiều cao của cây sau x năm là:

 

Vậy sau khoảng 2,72 năm thì cây cao 3 m.

Bài 7 trang 12 SGK Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ \({v_0} = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) thì tăng tốc với gia tốc không đổi \(a = 2{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\). Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Phương pháp:

Gọi \(s\left( t \right)\) (m) là quãng đường xe đi được sau \(t\) giây kể từ khi tăng tốc, \(v\left( t \right)\) (m/s) là vận tốc của xe sau \(t\) giây kể từ khi tăng tốc.

Do xe tăng tốc với gia tốc không đổi \(a = 2{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\), nên vận tốc của xe sẽ là \(v\left( t \right) = {v_0} + at{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

Quãng đường xe đi được kể từ khi tăng tốc là \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} \), ta nguyên hàm hàm số \(v\left( t \right)\) để tính \(s\left( t \right)\). Do tại \(t = 0\) thì xe mới bắt đầu tăng tốc, nên ta có \(s\left( 0 \right) = 0\). Từ đó tính được hằng số \(C\).

Quãng đường xe đi được trong 3 giây kể từ khi tăng tốc là \(s\left( 3 \right)\).

Lời giải:

Kí hiệu v(t) là tốc độ của xe, s(t) là quãng đường xe đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi xe tăng tốc.

Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên 

Mà v(0) = 10 nên C = 10.

Do đó v(t) = 2t + 10.

Vì s(0) = 0 => C = 0.

Do đó s(t) = t2 + 10t.

Quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:

s(3) = 32 + 10.3 = 39 (m).

Sachbaitap.com

Báo lỗi - Góp ý

Bài viết liên quan

Các bài khác cùng chuyên mục

Các tác phẩm khác

Bài viết mới nhất