Giải Toán 7 trang 81, 82 Chân trời sáng tạo tập 2

Bài 1 trang 81 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Trong Hình 8, I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

a) Cho biết IM = 6 (Hình 8a). Tính IK và IN.

b) Cho biết IN = x + 3, IM = 2x – 3 (Hình 8b). Tìm x

Phương pháp:

- Ta sử dụng định lí giao của 3 đường phân giác trong tam giác cách đều 3 cạnh

- Sử dụng định lí giao của 3 đường phân giác trong tam giác cách đều 3 cạnh 

Lời giải: 

a) Ta có I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

Do đó IM = IN = IK = 6 cm.

Vậy IK = IN = 6 cm.

b) Ta có I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

Do đó IM = IN = IK.

Suy ra 2x - 3 = x + 3

Suy ra 2x - x = 3 + 3

Do đó x = 6.

Bài 2 trang 82 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc B cắt AM tại I. Chứng minh rằng CI là tia phân giác của góc C.

Phương pháp:

- Ta chứng minh I là giao của 3 đường phân giác trong tam giác ABC

- Từ đó ta chứng minh CI là phân giác góc C

Lời giải:

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có :

AM chung

BM = CM ( M là trung điểm BC )

AB = AC (tam giác ABC cân tại A theo giả thiết)

\( \Rightarrow \Delta AMB = \Delta AMC (c-c-c)\)

\( \Rightarrow \widehat{BAM}= \widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow \) AM thuộc tia phân giác của góc A

Mà AM cắt tia phân giác góc B tại I

\( \Rightarrow \) I là giao của các đường phân giác trong tam giác ABC

\( \Rightarrow \) CI là phân giác góc C (định lí 3 đường phân giác cắt nhau tại 1 điểm)

Bài 3 trang 82 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại M. Tia AM cắt BC tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BC

Lời giải:

Vì M là giao điểm của 2 phân giác góc B, C nên M là điểm giao của 3 phân giác trong tam giác ABC

\( \Rightarrow \) AM cũng là phân giác của góc A (định lí về 3 phân giác cùng đi qua 1 điểm)

\( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {CAH}\)(tính chất tia phân giác của 1 góc)

Xét tam giác ABH và tam giác ACH có :

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

\(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\)(chứng minh trên)

AH cạnh chung

\( \Rightarrow \DeltaABH=\Delta ACH\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \) HB = HC (cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \)H là trung điểm của BC

Bài 4 trang 82 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho tam giác DEF. Tia phân giác của góc D và E cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với EF, đường thằng này cắt DE tại M, cắt DF tại N. Chứng minh rằng ME + NF = MN.

Lời giải:

Theo đề bài ta có MN song song với EF

\( \Rightarrow \) \(\widehat {FEI} = \widehat {EIM}\)(2 góc so le trong) và \(\widehat {EFI} = \widehat {FIN}\)(2 góc so le trong)

Xét có \(\widehat {FEI} = \widehat {EIM} = \widehat {IEM}\)(EI là phân giác góc E)cân tại M (2 góc đáy bằng nhau)

\( \Rightarrow \) EM = IM (2 cạnh bên tam giác cân) (1)

Xét có : \(\widehat {EFI} = \widehat {IFN} = \widehat {NIF}\)(FI là phân giác góc F) cân tại N (2 góc đáy bằng nhau)

\( \Rightarrow \)FN = IN (2 cạnh bên tam giác cân) (2)

Ta thấy MN = MI + NI (3)

Từ (1); (2) và (3) \( \Rightarrow \) ME + NF = MN

Bài 5 trang 82 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho tam giác AMN vuông tại A. Tia phân giác của góc M và N cắt nhau tại I. Tia MI cắt AN tại R. Kẻ RT vuông góc với AI tại T. Chứng minh rằng AT = RT.

Lời giải:

Theo đề bài ta có tia phân giác của góc M, N cắt nhau tại I

\( \Rightarrow \) I là điểm giao của 3 phân giác trong tam giác AMN

\( \Rightarrow \) AI là phân giác của góc A

\( \Rightarrow \) \(\widehat {IAN} = \widehat {IAM} = {45^o}\)(góc A vuông)

Xét tam giác ATR có \(\widehat {IAN} = {45^o}\) và \(\widehat {ATR} = {90^o}\) theo định lí tổng 3 góc trong 1 tam giác

\( \Rightarrow \widehat {IAN} + \widehat {ATR} + \widehat {TRA} = {180^o} \Rightarrow \widehat {TRA} = {180^o} - {90^o} - {45^o} = {45^o}\)

\( \Rightarrow \Delta ATR \) vuông cân tại T ( tam giác có 2 góc ở đáy = 45 độ )

\( \Rightarrow AT = TR\)

Bài 6 trang 82 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Ba thành phố A, B, C được nối với nhau bởi xa lộ (Hình 9). Người ta muốn tìm một địa điểm để làm một sân bay sao cho địa điểm này phải cách đều ba xa lộ đó. Hãy xác định vị trí của sân bay thỏa mãn điều kiện trên và giải thích cách thực hiện.

Phương pháp:

Ta sử dụng tính chất giao điểm của 3 phân giác trong tam giác cách đều 3 cạnh

Lời giải:

Ba xa lộ tạo thành ba cạnh của tam giác ABC.

Sân bay cách đều ba xa lộ AB, BC, CA nên địa điểm làm sân bay là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

Ta có hình vẽ sau:

Sachbaitap.com