Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 104 trang 122 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 104 trang 122 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} = {R^2}\) và điểm \(M(x_0 ; y_0)\) nằm ngoài \((C)\). Từ \(M\) ta kẻ hai tiếp tuyến \(MT_1\) và \(MT_2\) tới \((C)\) (\(T_1, T_2\) là các tiếp điểm).

a) Viết phương trình đường thẳng \(T_1T_2;\)

b) Giả sử \(M\) chạy trên một đường \(d\) cố định không cắt \((C)\). Chứng minh rằng đường thẳng \(T_1T_2\) luôn đi qua một điểm cố định.

Giải

(h.130).

 

Giả sử \({T_1} = ({x_1} ; {y_1}) ,  {T_2} = ({x_2} ; {y_2})\). Đường tròn \((C)\) có tâm \(O(0 ; 0)\), bán kính \(R.\) Phương trình tiếp tuyến \(MT_1\) có dạng \({x_1}x + {y_1}y = {R^2}\) và tiếp tuyến \(MT_2\) có dạng

\(\begin{array}{l}{x_2}x + {y_2}y = {R^2}\\M \in M{T_1} , M \in M{T_2}\\    \Rightarrow     \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_0} + {y_1}{y_0} = {R^2}\\{x_2}{x_0} + {y_2}{y_0} = {R^2}.\end{array} \right.\end{array}\)

Suy ra \(({x_1} ; {y_1}) ,  ({x_2} ; {y_2})\) là các nghiệm của phương trình \({x_0}x + {y_0}y = {R^2}\).    (1)

Vì \(M\) nằm ngoài \((C)\) nên \(x_0^2 + y_0^2 > 0\), do đó (1) là phương trình đường thẳng. 

Vậy phương trình đường thẳng \(T_1T_2\) là \({x_0}x + {y_0}y - {R^2} = 0\).

b) Xét trường hợp đường thẳng cố định \(d\) có phương trình dạng: \(x = a  (|a| > R)\). Khi đó \(M=(a ; y_0)\) phương trình \(T_1T_2\) là \(ax + {y_0}y - {R^2} = 0\). Dễ thấy đường thẳng \(T_1T_2\) luôn đi qua điểm cố định \(\left( { \dfrac{{{R^2}}}{a} ; 0} \right)\).

Xét trường hợp đường thẳng \(d\) có phương trình dạng \(y=kx+m\). Do \(d\) không cắt \((C)\) nên \(m \ne 0\). Ta có \(M = ({x_0} ; k{x_0} + m)\). Phương trình đường thẳng \(T_1T_2\) là

\({x_0}x + (k{x_0} + m)y - {R^2} = 0\) hay \({x_0}(x + ky) + my - {R^2} = 0\).

Ta tìm được điểm cố định mà đường thẳng \(T_1T_2\) luôn đi qua là \(\left( { \dfrac{{ - k{R^2}}}{m} ;  \dfrac{{{R^2}}}{m}} \right)\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan