Bài 1.12 trang 20 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng  AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.

a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE

b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có  \(\left\{ {\matrix{{BC \bot SA} \cr {BC \bot AB} \cr} } \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\)

Vì  \(AD \subset (SAB)\) nên  \(AD \bot BC\)

Mặt khác \(AD \bot SB\)  nên  \(AD \bot (SBC)\)

Từ đó suy ra \(AD \bot SC\)

\(\left\{ {\matrix{{SC \bot AE} \cr {SC \bot AD} \cr} } \right. \Rightarrow  SC \bot (ADE) \Rightarrow  SC \bot DE\) hay \(SE \bot (ADE)\) .

Trong tam giác vuông SAB ta có: \(SA.AB = AD.SB \Rightarrow AD = {{AB.SA} \over {SB}} = {{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)

Tương tự, trong tam giác vuông SAC ta có: \(AE = {{SA.AC} \over {SC}} = {{c\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Do  \(AD \bot (SBC)\) nên \(AD \bot DE\) . Từ đó suy ra:

\(DE = \sqrt {A{E^2} - A{D^2}}\)

\( = \sqrt {{{{c^2}({a^2} + {b^2})} \over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}} - {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}}\)

\( = {{{c^2}b} \over {\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}\)

\(SE = \sqrt {S{A^2} - A{E^2}}\)

\( = \sqrt {{c^2} - {{{c^2}({a^2} + {b^2})} \over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}}}\)

\( = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Vậy  \({V_{S.ADE}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}AD.DE.SE \)

\(= {1 \over 6}{{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.{{{c^2}b} \over {\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}.{{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

\( = {{ab{c^5}} \over {6({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})}}\)          

b) Gọi d là khoảng cách từ E  đến mặt phẳng (SAB)

Ta có: \(SD = \sqrt {S{A^2} - A{D^2}}  = \sqrt {{c^2} - {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}}  = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)

\({V_{S.ADE}} = {V_{E.SAD}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}SD.AD.d \)

\(= {1 \over 6}{{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}{{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}d \)

\(= {1 \over 6}{{a{c^3}} \over {{a^2} + {c^2}}}d\)

Kết hợp với kết quả trong câu a) ta suy ra  \(d = {{b{c^2}} \over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\)

Sachbaitap.com