Bài 1.3 trang 12 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số

a) \(y = 3 - 2\left| {\sin x} \right|\)    

b) \(y = \cos x + \cos \left( {x - {\pi  \over 3}} \right)\)    

c) \(y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x\)   

d) \(y = \sqrt {5 - 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x} \)    

Giải: 

a) \(0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1{\rm{nn}} - 2 \le  - 2\left| {\sin x} \right| \le 0\)

Vậy giá trị lớn nhất của y = 3 - 2|sin x| là 3, đạt được khi sin x = 0; giá trị nhỏ nhất của y là 1, đạt được khi sin x = ± 1

b) \(\cos x + \cos \left( {x - {\pi  \over 3}} \right)\)

\(= 2\cos \left( {x - {\pi  \over 6}} \right)\cos {\pi  \over 6}\)

\(= \sqrt 3 \cos \left( {x - {\pi  \over 6}} \right)\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là -√3 đạt được chẳng hạn, tại \(x = {{7\pi } \over 6}\); giá trị lớn nhất của y là √3, đạt được chẳng hạn tại \(x = {\pi  \over 6}\)

c) Ta có:

\({\cos ^2}x + 2\cos 2x\)

\(= {{1 + \cos 2x} \over 2} + 2\cos 2x\)

\(= {{1 + 5\cos 2x} \over 2}\)

Vì -1 ≤ cos2x ≤ 1 nên giá trị lớn nhất của y là 3, đạt được khi x = 0, giá trị nhỏ nhất của y là -2, đạt được khi \(x = {\pi  \over 2}\)

d) \(5 - 2{\cos ^2}x{\sin ^2}x = 5 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x\)

Vì \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1\Rightarrow - {1 \over 2} \le  - {1 \over 2}{\sin ^2}2x \le 0{\rm{ }}\)

\(\Rightarrow {\rm{ }}{{3\sqrt 2 } \over 2} \le y \le \sqrt 5 \)

Suy ra giá trị lớn nhất của y = √5 tại \(x = k{\pi  \over 2}\), giá trị nhỏ nhất là \({{3\sqrt 2 } \over 2}\) tại \(x = {\pi  \over 4} + k{\pi  \over 2}\)