Bài 1.4 Trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) \(y = x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\),   x ∈ [0; 2π].

b) \(y = x + 2\cos x\) , x ∈ \(({\pi  \over 6};{{5\pi } \over 6})\)

c) \(y = \sin {1 \over x}\) , (x > 0)

Hướng dẫn làm bài

a) \(y = x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\),   x ∈ [0; 2π].

   \(y' = 1 - c{\rm{osx }}\) ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 2π]

  Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π.

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π].

b) \(y = x + 2\cos x\) , x ∈ \(({\pi  \over 6};{{5\pi } \over 6})\)

    \(y' = 1 - 2\sin x\) < 0  với  x ∈ \(({\pi  \over 6};{{5\pi } \over 6})\)

 Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng  \(({\pi  \over 6};{{5\pi } \over 6})\)

c) Xét hàm số \(y = \sin {1 \over x}\)  với x > 0.

                      \(y' =  - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}\)

Giải bất phương trình sau trên khoảng (0; +∞):

           \({1 \over {{x^2}}}( - \cos {1 \over x}) > 0\)  ⟺ \(\cos {1 \over x}\) < 0

⟺ \({\pi  \over 2}(1 + 4k) < {1 \over x} < {\pi  \over 2}(3 + 4k)\) ,k = 0, 1, 2 ….

⟺ \({2 \over {\pi (1 + 4k)}} > x > {2 \over {\pi (3 + 4k)}}\)  , k = 0, 1, 2 ……..

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng

\(....,({2 \over {(4k + 3)\pi }};{2 \over {(4k + 1)\pi }}),({2 \over {(4k - 1)\pi }};{2 \over {(4k - 3)\pi }}),.....,\) \(({2 \over {7\pi }};{2 \over {5\pi }}),({2 \over {3\pi }};{2 \over \pi })\)

Và nghịch biến trên các khoảng

……, \(({2 \over {(4k + 1)\pi }};{2 \over {(4k - 1)\pi }}),({2 \over {5\pi }};{2 \over {3\pi }}),.....,({2 \over \pi }; + \infty )\)

 với k = 0, 1, 2 …

Sachbaitap.com