Bài 1.8 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\tan x > \sin x,0 < x < {\pi  \over 2}\)

b) \(1 + {1 \over 2}x - {{{x^2}} \over 8} < \sqrt {1 + x}  < 1 + {1 \over 2}x\) với \(0 < x <  + \infty \)

Hướng dẫn làm bài:

a) Xét hàm số \(f(x) = \tan x - \sin x\)  trên nửa khoảng \({\rm{[}}0;{\pi  \over 2})\) ;

 \(f'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - \cos x = {{1 - {{\cos }^3}x} \over {{{\cos }^2}}} \ge 0;x \in {\rm{[}}0;{1 \over 2})\)              

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}0;{\pi  \over 2})\) 

Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tan x – sin x > 0  hay tan x > sin x với mọi \(x \in {\rm{[}}0;{1 \over 2})\)

b) Xét hàm số \(h(x) = 1 + {1 \over 2}x - \sqrt {1 + x}\) trên $${\rm{[}}0; + \infty )$$

\(\eqalign{
& h'(x) = {1 \over 2} - {1 \over {2\sqrt {1 + x} }} \ge 0 \cr
& 1 + {1 \over 2}x - {{{x^2}} \over 8} < \sqrt {1 + x} ,0 \le x \le + \infty \cr} \)

Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}0; + \infty )\).

Vì h(x) = 0 nên \(h(x) = 1 + {1 \over 2}x - \sqrt {1 + x}  > 0\)

Hay \(1 + {1 \over 2}x > \sqrt {1 + x} \) với \(0 \le x <  + \infty \)

Xét hàm số  trên \(f(x) = \sqrt {1 + x}  - 1 - {1 \over 2}x + {{{x^2}} \over 8}\) trên \({\rm{[}}0; + \infty )\) ;

\(\eqalign{
& g(x) = f'(x) = {1 \over {2\sqrt {1 + x} }} - {1 \over 2} + {x \over 4} \cr
& g'(x) = {1 \over 4} - {1 \over {4(1 + x)\sqrt {1 + x} }} \ge 0,0 \le x < + \infty \cr} \)

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}0; + \infty )\) nên \(g(x) \ge 0\) , tức là \(f'(x) \ge 0\) trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

\(f(x) = \sqrt {1 + x}  - 1 - {1 \over 2}x + {{{x^2}} \over 8} > 0\)

hay \(1 + {1 \over 2}x - {{{x^2}} \over 8} < \sqrt {1 + x} \)

Với mọi \(0 < x <  + \infty \).